【几何模型解密】专题08 手拉手模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题08 手拉手模型 手拉手模型概述： 两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型。因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”。 文字说明： 1）点A 为共用顶角顶点，看作头 2）线段A B 、A C 为等腰 ∆ A BC 的两腰，看作两条手臂 线段A M 、A N 为等腰 ∆ A MN 的两腰，看作两条手臂 3 ）点B与点M看作左手，线段B M 看作左手拉左手 点 C 与点 N 看作右手，线段 CN 看作右手拉右手 解题步骤： ①找 共用 顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③S AS 证明全等。 常见模型： 模型一： 如图，直线A B 的同一侧作 ∆ ABC 和 ∆ AMN 都为等边三角形（A、 B 、 N 三点共线），连接B M 、C N ，两者相交于点E，则 1） ∆ ABM ≌ ∆ ACN 2）B M=CN 3）∠M EN= ∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角） 4） ∆ ANF ≌ ∆ AMD 5） ∆ AFC ≌ ∆ ADB 6）连接D F ，D F ∥ BN 7）连接A E ，A E 平分∠B EN 8）存在3组四点共圆 9）E N=EM+EA ，E B=EC+EA,EA=ED+EF 10）存在多组相似三角形 备注：1）-7）为基础，8）-10）为提高 证明： 1） ∵ ∆ ABC 和 ∆ AMN 都为等边三角形 ∴A B=AC ，A M=AN ，∠1=∠2=60° ∴ ∠1 +∠C AM =∠2 +∠C AM 则∠B AM =∠C AN 在 ∆ ABM 和 ∆ ACN 中 A B=AC ∠B AM =∠C AN ∴ ∆ ABM ≌ ∆ ACN ∴ B M=CN ，∠ BMA =∠C MA, ∠ ABM= ∠ ACN A M=AN 3 ) 方法一： 在 ∆ EFM 和 ∆ AFN 中 ∵∠M EN+ ∠E MF+ ∠3 = 180°,∠2 + ∠ FNA+ ∠4 = 180°而∠3=∠4，∠E MF =∠ FNA ∴ ∠M EF= ∠2=60° 方法二： ∵∠ MEF =∠ EBN+ ∠B NE ∠ MAN =∠ ABM+ ∠ AMB 而∠ EBN= ∠ ABM, ∠B NE= ∠ AMB ，∠2=60° ∴∠M EF= ∠2=60° 4） ∵∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 5= 180°而∠1 = ∠2=60°∴∠ 5 =60° 在 ∆ AFN 和 ∆ ADM 中 ∠ 5= ∠ 2=60 ° A M=AN ∴ ∆ AFN ≌ ∆ ADM ∠ DMA= ∠ ANF 5 ）在 ∆ AFC 和 ∆ ADB 中 ∠ 5= ∠1 =60 ° A B=AC ∴ ∆ AFC ≌ ∆ ADB ∴A D=AF ∠ ABD= ∠ ACF 6） ∵ A D=AF ，∠5=60° ∴ ∆ A DF 是等边三角形 ∴∠D FA=60 ° ∴ ∠D FA= ∠2 =60 ° ∴D F ∥ BN 7）过点A作A P ⊥ BM 交B M 于点P，A Q ⊥ CN 交 CN 于点 Q ∵ ∆ ABM ≌ ∆ ACN ∴ S ∆ ABM =S ∆ ACN , B M=CN 则A P=AQ ，∴A E 平分∠ BEN 8） ① ∵∠ ACN =∠A BM ∴∠ ACE =∠A BE 则点 A 、 B 、 C 、E四