专题03
铅笔头模型与锯齿模型
基础知识回顾
1）平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
2）
三角形内角和定理：
三角形三个内角和等于180°
三角形外角性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
二、
模型的概述：
模型一：铅笔头模型
【铅笔头模型基础】已知A
B
∥
DE
，结论：
∠B
+
∠
C
+∠
E
=
360°
证明1：
过点C作C
K
∥
AB
（
见拐点作平行线
）
∵A
B
∥
DE
∴A
B
∥
DE
∥C
K
∴∠B+∠1=180°，∠
E
+∠
2
=180° 而∠
C=
∠1+∠2
∴∠B
+
∠
C
+∠
E
=
360°
证明2：
连接B
E
∵A
B
∥
DE
∴
∠A
BE+
∠B
ED
=180°而∠
CBE
+∠
C
+∠
BEC
=
180°
∴∠
ABC
+∠
C+
∠
DEC
=∠A
BE
+∠
CBE
+∠
C+
∠B
ED
+∠
BEC
=
360°
证明3：
延长射线D
E
和射线B
C
，相交于点K
∵A
B
∥
DE
∴∠B+∠
K
=180°即∠
K
=180°-∠B
∵∠D
EC+
∠C
EK=
180°即∠C
EK
=180°-∠D
EC
则∠B
CE=
∠
K+
∠C
EK=
180°-∠B
+
180°-∠D
EC=360
°-∠B-∠D
EC
即∠B
CE
+∠B+∠D
EC
=
360°
【铅笔头模型变形】
变式一：
已知A
B
∥
DE
，则
∠
B
+∠M+∠N+∠E
=
证明：
变式二：
若a∥b，则∠A
1
+∠A
2
+...+∠An-1+∠An=
模型二：锯齿模型
【锯齿模型基础】已知A
B
∥
DE
，则∠B+∠
E
=∠
C
证明：
过点
C
作C
K
∥
AB
∵A
B
∥
DE
∴A
B
∥
DE
∥C
K
∴∠
B
=∠1
①，∠
E=
∠
2
②
①+②得 ∠
B
+∠
E
=∠1+∠
2
，即∠B+∠
E
=∠
C
【试一试】
尝试用三角形内角与外角相关知识证明。
【锯齿模型变形】
变式一：
已知A
B
∥
DE
，则
证明：
变式二：
若a∥b，则所有朝左角之和
所有朝右角的和。
【基础过关练】
1
．如图，已知
AB
∥
DE
，
∠
1
＝
30°
，
∠
2
＝
35°
，则
∠
BCE
的度数为（ ）
A
．
70°
B
．
65°
C
．
35°
D
．
5°
2．如图，两直线
、
平行，则
（
）．
A
．
B
．
C
．
D
．
3．一大门的栏杆如图所示，
BA
垂直地面
AE
于点
A
，
CD
平行于地面
AE
，则
∠
ABC
＋
∠
BCD
＝
_____
．
4．如图，如果
AB
CD
，那么
∠
B
＋
∠
F
＋
∠
E
＋
∠
D
＝
__
【几何模型解密】专题03 铅笔头模型与锯齿模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）
