【重点突围】专题20 新定义型二次函数问题(含解析)-2024年中考数学复习（全国通用版）

专题 20 新定义型二次函数问题 【 中考考向导航 】 目录 【直击中考】 1 【 考向一 新定义型二次函数问题】 1 【直击中考】 【 考向一 新定义型二次函数问题】 例题： （ 2023 秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验： ( 1 )已知抛物线 经过点 ，则 b ＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点 成中心对称的抛物线表达式是 ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线 ，以 y 轴上的点 为中心，作该抛物线关于点 M 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线 y 的“衍生抛物线”，点 M 为“衍生中心”． ( 2 )已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求 m 的取值范围． 问题解决： ( 3 )已知抛物线 ． ①若抛物线 y 的衍生抛物线为 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 a ， b 的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线 y 关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；…；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ，…（ 为正整数）．求 的长（用含 n 的式子表示）． 【 变式训练 】 1 ．（ 2022 秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）定义：同时经过 x 轴上两点 的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线 与抛物线 是都经过 的同弦抛物线． ( 1 )引进一个字母，表达出抛物线 的所有同弦抛物线； ( 2 )判断抛物线 与抛物线 是否为同弦抛物线，并说明理由； ( 3 )已知抛物线 是 的同弦抛物线，且过点 ，求抛物线 对应函数的最大值或最小值． 2 ．（ 2022 ·九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 ， ， ， 是常数）与 ， ， ， 是常数）满足 ， ， ，则称这两个函数互为“旋转函数”．求 函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由 函数可知 ， ， ，根据 ， ， 求出 ， ， ，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： ( 1 )写出函数 的“旋转函数”； ( 2 )若函数 与 互为“旋转函数”，求 的值； ( 3 )已知函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 、 、 关于原点的对称点分别是 、 、 ，试证明经过点 、 、 的二次函数与函数 互为“旋转函数”． 3 ．（ 2021 秋·湖北武汉·九年级统考期中）定义：关于 x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如： 的“同轴对称抛物线”为 ． ( 1 )请写出抛物线 的顶点坐标 　 　 ；及其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标