【解题大招】模型28 阿基米德折弦定理（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 【问题呈现】 阿基米德 ，公元前 公元前 212 年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 ​ 如 下 图所示， AB 和 BC 是 ⊙ O的两条弦(即 ABC 是圆的一条折弦)， BC>AB ， M 是 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线之垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD=AB+BD 。 【证明方法】 方法1:补短法 如图，延长 DB 至 F ，使 BF=BA ∵ M 是 的中点 ∴∠MCA=∠MAC=∠MBC ∵M、B、A、C 四点共圆 ∴∠MCA+∠MBA=180° ∵∠MBC+∠MBF=180° ∴∠MBA=∠MBF ∵MB=MB,BF=BA ∴△MBF≌△MBA ∴∠F=∠MAB=∠MCB ∴MF=MC ∵MD⊥CF ∴CD=DF=DB+BF=AB+BD 方法2:截长法 如图，在 CD 上截取 DG=DB ∵ MD ⊥ BG ∴ MB = MG ， ∠ MGB = ∠ MBC = ∠ MAC ∵ M 是 的中点 ∴∠ MAC= ∠ MCA= ∠ MGB 即 ∠ MGB= ∠ MCB+ ∠ BCA= ∠ MCB+ ∠ BMA 又 ∠ MGB= ∠ MCB+ ∠ GMC ∴∠ BMA= ∠ GMC ∵ MA=MC ∴△ MBA ≌△ MGC(SAS) ∴ AB=GC ∴ CD=CG+GD=AB+BD 方法3:垂线法 如图，作 MH ⊥ 射线 AB， 垂足为 H。 ∵ M 是 的中点 ∴ MA=MC ∵ MD ⊥ BC ∴∠ MDC=90°= ∠ H ∵∠ MAB= ∠ MCB ∴△ MHA ≌△ MDC(AAS) ∴ AH=CD，MH=MD 又 ∵ MB=MB ∴ Rt △ MHB ≌ Rt △ MDB(HL) ∴ HB=BD ∴ CD=AH=AB+BH=AB+BD 例题精讲 例题精讲 【例1】 ．已知 M 是 的中点， B 为 上任意一点， B 不与 A 、 M 重合，且 MD ⊥ BC 于 D ． BD ＝2， CD ＝6，求 AB 的长． 变式训练 【变式1-1】 ．如图， 是劣弧， M 是 的中点， B 为 上任意一点．自 M 向 BC 弦引垂线，垂足为 D ，求证： AB + BD ＝ DC ． 【变式1-2】 ．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理： 如图1， AB 和 BC 组成圆的折弦， AB ＞ BC ， M 是弧 ABC 的中点， MF ⊥ AB 于 F ，则 AF ＝ FB + BC ． 如图2，△ ABC 中，∠ ABC ＝60°， AB ＝8， BC ＝6， D 是 AB 上一点， BD ＝1，作 DE ⊥ AB 交△ ABC 的 外接圆于 E ，连接 EA ，则∠ EAC ＝ 　　 °． 【例2】． 如图， AC ， BC 是 ⊙ O 的两条弦， M 是 的中点，作 MF ⊥ AC ，垂足为 F ，若 BC ＝ ， AC ＝3，则 AF ＝ 　　 ． 【变式2-1】 ．如图，△ ABC 内接于 ⊙ O ， AC ＞ BC ，点 D 为 的中点．