【专项突破】专题17 多函数综合问题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题17 多函数综合问题 多函数综合题是指一次函数、反比例函数与二次函数的综合，考查形式多样，包括存在性问题、面积问题、线段和差的最值问题以及角度的问题。在解决此类问题，首先掌握各函数的图像与性质是解决问题的前提。 （2022·贵州黔西·统考中考真题） 如图，在平面直角坐标系中，经过点 的直线 AB 与 y 轴交于点 ．经过原点 O 的抛物线 交直线 AB 于点 A ， C ，抛物线的顶点为 D ． (1)求抛物线 的表达式； (2) M 是线段 AB 上一点， N 是抛物线上一点，当 轴且 时，求点 M 的坐标； (3) P 是抛物线上一动点， Q 是平面直角坐标系内一点．是否存在以点 A ， C ， P ， Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出直线 AB 的表达式为 ，设 ， ，分当 M 在 N 点上方时， ．和当 M 在 N 点下方时， ，即可求出 M 的坐标； （3）画出图形，分 AC 是四边形的边和 AC 是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【答案】(1) (2) 或 或 (3)存在， 或 或 或 【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的表达式为 ． （2）设直线 AB 的解析式为： ， ∵直线 AB 经过 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴直线 AB 的表达式为 ． ∵ 轴，可设 ， ，其中 ． 当 M 在 N 点上方时， ． 解得 ， （舍去）． ∴ ． 当 M 在 N 点下方时， ． 解得 ， ． ∴ ， ． 综上所述，满足条件的点 M 的坐标有三个 ， ， ． （3）存在．满足条件的点 Q 的坐标有4个． ， ， ， ． 理由如下： ①如图，若 AC 是四边形的边． 当 时， ∴拋物线的对称轴与直线 AB 相交于点 ． 过点 C ， A 分别作直线 AB 的垂线交抛物线于点 ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴点 与点 D 重合． 当 时，四边形 是矩形． ∵ 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ． ∴ 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到 ． 此时直线 的解析式为 ． ∵直线 与 平行且过点 ， ∴直线 的解析式为 ． ∵点 是直线 与拋物线 的交点， ∴ ． 解得 ， （舍去）． ∴ ．当 时，四边形 是矩形． ∵ 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ． ∴ 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到 ． ②如图，若 AC 是四边形的对角线， 当 时．过点 作 轴，垂足为 H ，过点 C 作 ，垂足为 K ． 可得 ， ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵点 P 不与点 A ， C 重合， ∴ 和 ． ∴