【几何模型解密】专题06 老鹰抓小鸡模型与双角平分线模型（三角形）（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题06 老鹰抓小鸡模型 、 双角平分线模型（三角形） 一、基础知识回顾 角平分线的概念： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 已知O C 平分∠ AOB ，则∠A OC =∠C OB = ∠A OB 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于180° 三角形外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 二、 模型的概述： 老鹰抓小鸡模型一: ∠ A+ ∠ O =∠1+∠2 （结论） 证明: 连接A O ∵ ∠1是 ∆ A BO 的外角 ∴ ∠1=∠3+∠ 5 ① ∵ ∠ 2 是 ∆ A CO 的外角 ∴ ∠ 2 =∠ 4 +∠ 6 ② ①+②得 ∠1+∠ 2 =∠3+∠ 5 +∠ 4 +∠ 6 ，即∠1+∠ 2 =∠B AC+ ∠B OC 文字概述：腋下两角之和等于上下两角之和 【变形】 将三角形纸片A BC 沿E F 边折叠，当点C落在四边形A BFE 内部时，∠ C 与∠1、∠2之间的关系为： 2∠ C= ∠1 + ∠ 2 或 ∠ C= （∠1 + ∠ 2 ） 证明： 1）连接C C’ ，方法同模型一 2）在 ∆EFC 中，将∠ FEC =90°- ∠1，∠ EFC =90°- ∠2代入∠ FEC +∠ EFC+ ∠ C=180 °化简 老鹰抓小鸡模型二：∠ A+ ∠ O =∠2 - ∠1 （结论） 证明：连接 AO ∵ ∠1是 ∆ A BO 的外角 ∴ ∠1=∠ BAO +∠ AOB ① ∵ ∠ 2 是 ∆ A OD 的外角 ∴ ∠ 2 =∠ 3+ BAO +∠ AOB +∠ BOD ② ②-①得 ∠ 2- ∠1 = ∠ 3+ ∠ BFD 即∠ BAD+ ∠ BOD= ∠ 2- ∠1 【变形】 将三角形纸片A BC 沿E F 边折叠，当点C落在四边形A BFE 外部时，∠ C 与∠1、∠2之间的关系为： 2∠ C= ∠ 2 -∠1或 ∠ C= （∠ 2 -∠1） 双角平分线模型（三角形） 模型一： 已知B D 、D C 分别平分∠ ABC 、∠ ACB ，则∠ D =90°+ ∠A 证明：∵ B D 、D C 分别平分∠ ABC 、∠ ACB ∴∠ DBC = ∠A BC ，∠ DCB = ∠A CB ∵在 ∆ A BC 中，∠A + ∠A BC+ ∠A CB =180 °∴∠A=180°-2∠ DBC -2∠ DCB ① ∵在 ∆ BDC 中，∠ D+ ∠ DBC+ ∠ DCB=180 °∴∠ D =180°-∠ DBC -∠ DCB ② ①-2×②得∠A -2∠ D =180°-2∠ DBC -2∠ DCB -360°+2∠ DBC +2∠ DCB 即∠ D =90°+ ∠A 模型二： 已知B D 、D C 分别平分∠ EBC 、∠ FCB ，则∠ D =90°- ∠A 证明：∵ B D 、D C 分别平分∠ EBC 、∠ FCB ∴∠ 1= ∠ 2 = ∠ EBC ，∠ 3= ∠ 4 = ∠ FCB ∵在 ∆ A BC 中，∠A + ∠A BC+ ∠A CB =180 °∴∠A =180°- (180 °-∠1-∠2 ) –(180 °-∠ 3 -∠ 4) 化简得∠A=∠1+∠2+∠3+∠4-180°=2∠2 +2∠3-180° ① ∵在 ∆ BDC 中，∠ D+ ∠2 + ∠3 =180 °∴∠ D =180°-∠2 -∠3 ② ①+2×②得∠A +2∠ D =180°