【解题大招】模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 正弦定理 ：三角形 ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ，其分别对应∠ A 、∠ B 、∠ C ；则有 余弦定理 ：在△ ABC 中，余弦定理可以表示为： a 2 ＝ b 2 + c 2 ﹣2 bc cos∠ A b 2 ＝ a 2 + c 2 ﹣2 ac cos∠ B c 2 ＝ a 2 + b 2 ﹣2 ab cos∠ C ． 正弦面积公式： S △ ABC ＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B 例题精讲 例题精讲 【例1】 ．如图，∠ XOY ＝45°，一把直角三角尺△ ABC 的两个顶点 A 、 B 分别在 OX ， OY 上移动，其中 AB ＝10，则点 O 到顶点 A 的距离的最大值为 　 　 ，点 O 到 AB 的距离的最大值为 　 　 ． 变式训练 【变式1-1】 ．以 O 为圆心，1为半径作圆．△ ABC 为 ⊙ O 的内接正三角形， P 为弧 AC 的三等分点，则 PA 2 + PB 2 + PC 2 的值为 　 　 ． 【变式1-2】 ．如图， A ， B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45°， B 点北偏西60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60°且与 B 点相距 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？ 【例2】 ．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝45°， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， BD ＝3， CD ＝2，求 AD 的长． 变式训练 【变式2-1】 ．在四边形 ABCD 中， AB ＝ BC ＝ CD ＝26， AD ＝30 ， AC ， BD 交于点 O ，∠ AOB ＝60°．求 S 四边形 ABCD ＝ 　 　 ． 【变式2-2】 ．如图，圆内接四边形 ABCD 中， AC 平分 BD ， AC ＝ ，求 AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 的值． 1．若△ ABC 的三个内角满足sin A ：sin B ：sin C ＝5：11：13，则△ ABC （　　） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．如图，点 D 是△ ABC 的边 BC 上一点，如果 AB ＝ AD ＝2， AC ＝4，且 BD ： DC ＝2：3，则△ ABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形 3．在△ ABC 中，∠ B ＝45°， AC ＝2，则△ ABC 面积的最大值为（　　） A．2 B． +1 C．2 D． 4．△ ABC 中， ， ， BC ＝2，设 P 为 BC 边上任一点，则（　　） A． PA 2 ＜ PB • PC B． PA 2 ＝ PB • PC C． PA 2 ＞ PB • PC D． PA 2 与 PB • PC 的大小关系并不确定 5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（　　） A．78.