模型介绍
模型介绍
1.
托勒密定理
：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．
翻译：在四边形
ABCD
中，若
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆，则
．
证明
：在线段
BD
上取点
E
，使得
∠
BAE
=
∠
CAD
，
易证
△
AEB
∽△
ADC
，
∴
，即
，
当
∠
BAE
=
∠
CAD
时，可得：
∠
BAC
=
∠
EAD
，
易证
△
ABC
∽△
AED
，
∴
，即
，
∴
，
∴
．
2.
（托勒密不等式）
：对于任意凸四边形
ABCD
，有
证明
：如图1，在平面中取点
E
使得
∠
BAE
=
∠
CAD
，
∠
ABE
=
∠
ACD
，
易证
△
ABE
∽△
ACD
，
∴
，即
①
，
连接
DE
，如图2，
∵
，
∴
，
又
∠
BAC
=
∠
BAE
+
∠
CAE
=
∠
DAC
+
∠
CAE
=
∠
DAE
，
∴△
ABC
∽△
AED
，
∴
，即
②
，
将
①
+
②
得：
，
∴
即
，当且仅当
A
、
B
、
C
、
D
共圆时取到等号．
3.
托勒密定理在中考题中的应用
（1）当
△
ABC
是等边三角形时
，
如图1，当点
D
在弧
AC
上时，根据托勒密定理有：
，
又等边
△
ABC
有
AB
=
AC
=
BC
，
故有结论：
．
证明：在
BD
上取点
E
使得
DE
=
DA
，
易证
△
AEB
∽△
ADC
，
△
AED
∽△
ABC
，利用对应边成比例，可得：
．
如图2，当点
D
在弧
BC
上时，结论：
DA
=
DB
+
DC
．
【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别．
（2）当
△
ABC
是等腰直角三角形，
如图3，当点
D
在弧
BC
上时，根据托勒密定理：
，
又
，代入可得结论：
．
如图4，当点
D
在弧
AC
上时，根据托勒密定理：
，
又
，代入可得结论：
．
（3）当
△
ABC
是一般三角形时，若记
BC
：
AC
：
AB
=
a
：
b
：
c
，
根据托勒密定理可得：
例题精讲
例题精讲
【例1】
．如图，正五边形
ABCDE
内接于
⊙
O
，
AB
＝2，则对角线
BD
的长为
．
变式训练
【变式1-1】
．先阅读理解：托勒密（
Ptolemy
古希腊天文学家）定理指出：圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．即：如果四边形
ABCD
内接于
⊙
O
，则有
AB
•
CD
+
AD
•
BC
＝
AC
•
BD
．再请完成：
（1）如图1，四边形
ABCD
内接于
⊙
O
，
BC
是
⊙
O
的直径，如果
AB
＝
AC
＝
，
CD
＝1，求
AD
的长．
（2）在（1）的条件下，如图2，设对边
BA
、
CD
的延长线的交点为
P
，求
PA
、
PD
的长．
【变式1-2】
．如图1，已知
⊙
O
内接四边形
ABCD
，
求证：
AC
•
BD
＝
AB
•
CD
+
AD
•
BC
．
证明：如图1，在
BD
上取一点
P
，连接
CP
，使∠
PCB
＝∠
DCA
，即使∠1＝∠2．
∵在
⊙
O
【解题大招】模型27 托勒密定理（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
