模型介绍
模型介绍
故事背景：
米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.
米勒问题：
已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题
米勒定理：
已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.
证明：
如图1，设C
’
是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠A
C’
B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠A
C’
B小于∠ACB，故∠ACB最大。
米勒定理在解题中的应用
常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
例题精讲
例题精讲
【例1】
．平面直角坐标系内，已知点
A
（1，0），
B
（5，0），
C
（0，
t
）．当
t
＞0时，若∠
ACB
最大，则
t
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练
【变式1-1】
．如图，在正方形
ABCD
中，边长为4，
M
是
CD
的中点，点
P
是
BC
上一个动点，当∠
DPM
的度数最大时，则
BP
＝
．
【变式1-2】
．如图，∠
AOB
＝60°，
M
，
N
是
OB
上的点，
OM
＝4，
MN
＝
．
（1）设
⊙
O
过点
M
、
N
，
C
、
D
分别是
MN
同侧的圆上点和圆外点．
求证：∠
MCN
＞∠
MDN
；
（2）若
P
是
OA
上的动点，求∠
MPN
的最大值．
【例2】
．在直角坐标系中，给定两点
M
（1，4），
N
（﹣1，2），在
x
轴的正半轴上，求一点
P
，使∠
MPN
最大，则
P
点的坐标为
．
变式训练
【变式2-1】
．如图，某雕塑
MN
位于河段
OA
上，游客
P
在步道上由点
O
出发沿
OB
方向行走．已知∠
AOB
＝30°，
MN
＝2
OM
＝40
m
，当观景视角∠
MPN
最大时，游客
P
行走的距离
OP
是
米．
【变式2-2】
．如图，在矩形
ABCD
中，
AB
＝6，
AD
＝8，点
E
，
F
分别是边
CD
，
BC
上的动点，且∠
AFE
＝90°
（1）证明：△
ABF
∽△
FCE
；
【解题大招】模型29 圆内最大张角之米勒角问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
