模型介绍
模型介绍
要
求证平行四边形
的
存在，
得
先了解平行四边形
的
性质：
（1）对应边平行且相等
.
（2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：
（1）对边平行且相等可转化为：
，
可以理解为点
B
移动到点
A
，点
C
移动到点
D
，移动路径完全相同．
（2）对角线互相平分转化为：
，可以理解为
AC
的中点也是
BD
的中点．
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：
，
→
．
当
AC
和
BD
为对角线时，结果可简记为：
（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点
A
、
B
、
C
、
D
满足“
A
+
C
=
B
+
D
”，则四边形
ABCD
是否一定为平行四边形？
反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形
ABCD
是平行四边形”与“
AC
、
BD
中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：
（1）四边形
ABCD
是平行四边形：
AC
、
BD
一定是对角线．
（2）以
A
、
B
、
C
、
D
四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】
三定一动
已知
A
（1，2）
B
（5，3）
C
（3，5），在坐标系内确定点
D
使得以
A
、
B
、
C
、
D
四个点为顶点的四边形是平行四边形．
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设
D
点坐标为（
m
，
n
），又
A
（1，2）
B
（5，3）
C
（3，5），可得：
（1）
BC
为对角线时，
，可得
；
（2）
AC
为对角线时，
，解得
；
（3）
AB
为对角线时，
，解得
．
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．
比如：
，
，
．（此处特指点的横纵坐标相加减）
2.
两定两动
已知
A
（1，1）、
B
（3，2），点
C
在
x
轴上，点
D
在
y
轴上，且以
A
、
B
、
C
、
D
为顶点的四边形是平行四边形，求
C
、
D
坐标．
【分析】
设
C
点坐标为（
m
，0），
D
点坐标为（0，
n
），又
A
（1，1）、
B
（3，2）．
（1）当
AB
为对角线时，
，解得
，故
C
（4，0）、
D
（0，3）；
（2）当
AC
为对角线时，
，解得
，故
C
（2，0）、
D
（0，-1）；
（3）当
AD
为对角线时，
，解得
，故
C
（-2，0）、
D
（0，1）．
【动点
综述
】
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定
【解题大招】专题60 二次函数背景下的特殊平行四边形存在性问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
