【几何模型解密】专题13 胖瘦模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题13 胖瘦模型 模型概述： 在 等腰三角形 内部进行切割 ， 利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造 ，常 以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形 。 模型： 如图， ∆ABC 为等腰三角形，点P在线段B C 上且点P不是B C 的中点。 根据观察，S ∆APC >S ∆ABP ，此时将 ∆APC 看作是胖子， ∆ABP 看作是瘦子。 结论一： 【变胖】如图，在 BC 上截取C Q=BP, 连接A Q, 则 ∆ABQ ≌ ∆ACP ，A P=AQ. 证明：∵ ∆ABC 为等腰三角形 ∴A B=AC ∠ B =∠ C ∵ C Q=BP ∴C Q + PQ=BP + PQ 则 BQ=PC 在 ∆ABQ 和 ∆ACP 中 A B=AC ∠ B =∠ C ∴ ∆ABQ ≌ ∆ACP （S AS ） ，∴A P=AQ BQ=PC 文字简述： ∆ABP （瘦子）加上 ∆APQ （等腰三角形）得到新 ∆ABQ （变胖了），通过证明 ∆ABQ ≌ ∆ACP （S AS ） 结论二： 【变瘦】如图，在 BC 上截取C Q=BP, 连接A Q, 则 ∆ABP ≌ ∆ACQ ，A P=AQ. 证明：∵ ∆ABC 为等腰三角形 ∴A B=AC ∠ B =∠ C 在 ∆ABP 和 ∆ACQ 中 A B=AC ∠ B =∠ C ∴ ∆ABP ≌ ∆ACQ （S AS ） ，∴A P=AQ C Q=BP 文字简述： ∆APC （胖子）减去 ∆APQ （等腰三角形）得到新 ∆ACQ （变瘦了），通过证明 ∆ABP ≌ ∆ACQ （S AS ） 结论三： 【找中间状态】如图，过点A作A M ⊥ BC ，垂足于点M , 则 ∆ABM ≌ ∆ACM 证明：∵ ∆ABC 为等腰三角形 ∴A B=AC ∠ B =∠ C ∵ A M ⊥ BC ， ∴ BM=MC 在 ∆ABM 和 ∆ACM 中 A B=AC A M =A M ∴ ∆ABM ≌ ∆ACM （S SS ） ∴A P=AQ BM=MC 文字简述： ∆ABP （瘦子）加上 ∆APM （直角三角形）得到新 ∆ABM （变胖了）， ∆APC （胖子）减去 ∆APM （直角三角形）得到新 ∆ACM （变瘦了），通过证明 ∆ABM ≌ ∆ACM （S SS ） 方法： 见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。 【提高测试】 1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末） 如图， BN 为∠ MBC 的平分线， P 为 BN 上一点，且 PD ⊥ BC 于点 D ，∠ APC + ∠ ABC ＝ 180 °，给出下列结论： ① ∠ MAP ＝∠ BCP ； ② PA ＝ PC ； ③ AB + BC ＝ 2 BD ； ④ 四边形 BAPC 的面积是△ PBD 面积的 2 倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 2．（2022秋·山东日照·八年级期中）如图，过边长为4的等边三角形的边 AB 上一点 P ，作 于点 E ， Q 为 BC 延长线上一点，当 时，连接 PQ 交边 AC 于点 D ，则 DE 的长为（      ） A．2 B．3 C．4 D． 3．（2022秋·吉林·八年级吉林省第