【解题大招】专题53 一次函数背景下的搭桥模型（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 方法点拨 二、求线段之和的最小值 已知 A 、 B 是两个定点， P 、 Q 是直线 m 上的两个动点， P 在 Q 的左侧 , 且 PQ 间长度恒定 , 在直线 m 上要求 P 、 Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小 .( 原理用平移知识解 ) （ 1 ）点 A 、 B 在直线 m 两侧： 过 A 点作 AC ∥m,且AC长等于PQ长， 连接 BC, 交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为 P 点，此时 P 、 Q 即为所求的点 . （ 2 ）点 A 、 B 在直线 m 同侧： 过 A 点作 AE ∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B ’ , 连接 B ’ E, 交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为 P 点，此时 P 、 Q 即为所求的点 . 例题精讲 例题精讲 【例1】． 如图，已知 A （ 3 ， 1 ）， B （ 1 ， 0 ）， PQ 是直线 y ＝ x 上的一条动线段且 PQ ＝ （ Q 在 P 的下方），当 AP + PQ + QB 取最小值时，点 Q 坐标为 　 　 ． 变式训练 【变1-1】． 如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A ， C ， E 的坐标分别为（ 0 ， 4 ），（ 8 ， 0 ），（ 8 ， 2 ），点 P ， Q 是 OC 边上的两个动点，且 PQ ＝ 2 ，要使四边形 APQE 的周长最小，则点 P 的坐标为（　　） A ．（ 2 ， 0 ） B ．（ 3 ， 0 ） C ．（ 4 ， 0 ） D ．（ 5 ， 0 ） 【变1-2】 ． A 、 B 两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥． （ 1 ）要使这两村 A 、 B 之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来． （ 2 ）若两村 A 、 B 到河边的距离分别为 50 米和 20 米，河宽为 30 米， AC ＝ 40 米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来． 【例2】． 如图，平面直角坐标系中，直线 y ＝ x +8 分别交 x 轴， y 轴于 A ， B 两点，点 C 为 OB 的中点，点 D 在第二象限，且四边形 AOCD 为矩形．动点 P 为 CD 上一点， PH ⊥ OA ，垂足为 H ，点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点，当 BP + PH + HQ 值最小时，点 P 的坐标为 　 　 ． 变式训练 【变2-1】 ．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝﹣ x + 与 x 轴， y 轴分别交于点 A ， B ， Q 为△ AOB 内部一点，则 AQ + OQ + BQ 的最小值等于（　　） A ． 2 B ． C ． D ． 【变2-2】． 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A ， C 分别在 x 轴， y 轴上， B ， D 两点坐标分别为 B （﹣ 4 ， 6 ）， D （ 0 ， 4 ），线段 EF 在边 OA 上移动，保持 EF ＝ 3 ，当四边形 BDEF 的周长最小时，点 E 的坐标为