【解题大招】专题62 二次函数与圆综合性问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

例题精讲 例题精讲 【例1】． 如图，抛物线的顶点为 A （0，2），且经过点 B （2，0）．以坐标原点 O 为圆心的圆的半径 r ＝ ， OC ⊥ AB 于点 C ． （1）求抛物线的函数解析式． （2）求证：直线 AB 与 ⊙ O 相切． （3）已知 P 为抛物线上一动点，线段 PO 交 ⊙ O 于点 M ．当以 M ， O ， A ， C 为顶点的四边形是平行四边形时，求 PM 的长． 变式训练 【变1-1】． 如图，抛物线 y ＝ ax 2 + bx +2与直线 AB 相交于 A （﹣1，0）， B （3，2），与 x 轴交于另一点 C ． （1）求抛物线的解析式； （2）在 y 上是否存在一点 E ，使四边形 ABCE 为矩形，若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以 C 为圆心，1为半径作 ⊙ O ， D 为 ⊙ O 上一动点，求 DA + DB 的最小值 【例2】 ．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C （0，6），抛物线的顶点坐标为 E （2，8），连结 BC 、 BE 、 CE ． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△ BCE 的形状，并说明理由； （3）如图2，以 C 为圆心， 为半径作 ⊙ C ，在 ⊙ C 上是否存在点 P ，使得 BP + EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 变式训练 【变2-1】 ．在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ x 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于 A （﹣2，0）， B （4，0）两点，交 y 轴于点 C ，点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图甲，当△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形时，求点 P 的坐标； （3）如图乙，过 A ， B ， P 三点作 ⊙ M ，过点 P 作 PE ⊥ x 轴，垂足为 D ．交 OM 于点 E ．点 P 在运动过程中线段 DE 的长是否变化，若有变化，求出 DE 的取值范围；若不变，求 DE 的长． 1．如图，已知 ⊙ P 的半径为2，圆心 P 在抛物线 y ＝ x 2 ﹣1上运动，当 ⊙ P 与坐标轴相切时，圆心 P 的坐标可以是 　 　 ． 2．如图1，抛物线 与 x 轴交于 O 、 A 两点，点 B 为抛物线的顶点，连接 OB ． （1）求∠ AOB 的度数； （2）如图2，以点 A 为圆心，4为半径作 ⊙ A ，点 M 在 ⊙ A 上．连接 OM 、 BM ， ① 当△ OBM 是以 OB 为底的等腰三角形时，求点 M 的坐标； ② 如图3，取 OM 的中点 N ，连接 BN ，当点 M 在 ⊙ A 上运动时，求线段 BN 长度的取值范围． 3．如图，抛物线 y ＝ ax 2 ﹣2 ax ﹣3 a （ a ＞0）与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在