模型探究
模型探究
费马
点
问题思考：
如何找一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
，
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
.
费马点的定义：
数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小
.
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°
.
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是
运用旋转变换．
R
秘诀：
以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
例题
精讲
例题
精讲
【
例1
】
．已知，在△
ABC
中，∠
ACB
＝30°
（1）如图1，当
AB
＝
AC
＝2，求
BC
的值；
（2）如图2，当
AB
＝
AC
，点
P
是△
ABC
内一点，且
PA
＝2，
PB
＝
，
PC
＝3，求∠
APC
的度数；
（3）如图3，当
AC
＝4，
AB
＝
（
CB
＞
CA
），点
P
是△
ABC
内一动点，则
PA
+
PB
+
PC
的最小值为
．
变式
训练
【
变式1-1
】
如图，
是边长为1的等边
内的任意一点，求
的取值范围.
【
变式1-2
】
．已知点
P
是△
ABC
内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则
P
点叫△
ABC
的费马点（
Fermatpoint
）．已经证明：在三个内角均小于120°的△
ABC
中，当∠
APB
＝∠
APC
＝∠
BPC
＝120°时，
P
就是△
ABC
的费马点．若点
P
是腰长为
的等腰直角三角形
DEF
的费马点，则
PD
+
PE
+
PF
＝
．
【
变式1-3
】
．如图，
P
为正方形
ABCD
对角线
BD
上一动点，若
AB
＝2，则
AP
+
BP
+
CP
的最小值为
______.
【例2】.
如图，
P
是边长为2的正方形
ABCD
内一动点，
Q
为边
BC
上一动点，连接
PA
、
PD
、
PQ
，则
PA
+
PD
+
PQ
的最小值为
________
变式
训练
【
变式2-1
】
．
如图，已知矩形
ABCD
，
AB
＝4，
BC
＝6，点
M
为矩形内一点，点
E
为
BC
边上任意一点，则
MA
+
MD
+
ME
的最小值为（ ）
A．3+2
B．4+3
C．2+2
D．10
【
变式2-2
】
．如图，已知正方形
ABCD
内一动点
E
到
A
、
B
、
C
三点的距离之和的最小值为1+
，则这个正方形的边长为
．
【
变式2-3
】
．两张宽为3
cm
的纸条交叉重叠成四边形
ABCD
【解题大招】模型19 费马点最值模型（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
