梅涅劳斯定理
：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积．当直线交三角形
ABC
三边所在直线
BC
、
AB
、
AC
于
D
、
E
、
F
点时，则有
AE
×
BD
×
CF
＝
EB
×
CD
×
AF
塞瓦定理
：塞瓦定理是指在△
ABC
内任取一点
O
，延长
AO
、
BO
、
CO
分别交对边于
D
、
E
、
F
，则
BD
×
CE
×
AF
＝
DC
×
EA
×
FB
．
例题精讲
例题精讲
考点一：梅涅劳斯定理
【例1】
．如图，等边△
ABC
的边长为2，
F
为
AB
中点，延长
BC
至
D
，使
CD
＝
BC
，连接
FD
交
AC
于
E
，则四边形
BCEF
的面积为
．
变式训练
【变式1-1】
．如图，
D
、
E
、
F
内分正△
ABC
的三边
AB
、
BC
、
AC
均为1：2两部分，
AD
、
BE
、
CF
相交成的△
PQR
的面积是△
ABC
的面积的（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】
．梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（
Menelaus
）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△
ABC
的三边
AB
，
BC
，
CA
或它们的延长线交于
F
、
D
、
E
三点，那么一定有
•
•
＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点
A
作
AG
∥
BC
，交
DF
的延长线于点
G
，则有
＝
．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在△
ABC
中，
AB
＝
AC
＝13，
BC
＝10，点
D
为
BC
的中点，点
F
在
AB
上，且
BF
＝2
AF
，
CF
与
AD
交于点
E
，则
AE
＝
．
考点二：塞瓦定理
【例2】
．如图：
P
，
Q
，
R
分别是△
ABC
的
BC
，
CA
，
AB
边上的点．若
AP
，
BQ
，
CR
相交于一点
M
，求证：
．
变式训练
【变式2-1】
．请阅读下列材料，并完成相应任务
如图，塞瓦定理是指在△
ABC
内任取一点
O
，延长
AO
，
BO
，
CO
分别交对边
D
，
E
，
F
于，则
×
×
＝1．
任务：（1）当点
D
，
E
分别为边
BC
，
AC
的中点时，求证：点
F
为
AB
的中点；
（2）若△
ABC
为等边三角形，
AB
＝12，
AE
＝4，点
D
是
BC
边的中点，求
BF
的长．
【变式2-2】
．请阅读下列材料，并完成相应任务
塞瓦定理
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△
ABC
内任取一点
O
，延长
AO
，
BO
，
CO
分别交对边于
D
，
E
，
F
，则
．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任
【解题大招】模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
