【压轴题】专题6二次函数与平行四边形存在性问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题6 二次函数与平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形. 平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点B的坐标是 ，则线段AB的中点坐标是 . 平行四边形ABCD的顶点坐标分别为 、 、 、 ，则 ， . 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： 【 例1 】 ．（2022•娄底）如图，抛物线 y ＝ x 2 ﹣2 x ﹣6与 x 轴相交于点 A 、点 B ，与 y 轴相交于点 C ． （1）请直接写出点 A ， B ， C 的坐标； （2）点 P （ m ， n ）（0＜ m ＜6）在抛物线上，当 m 取何值时，△ PBC 的面积最大？并求出△ PBC 面积的最大值． （3）点 F 是抛物线上的动点，作 FE ∥ AC 交 x 轴于点 E ，是否存在点 F ，使得以 A 、 C 、 E 、 F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【 例2 】 ．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝﹣ x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D （2，1），抛物线的对称轴交直线 BC 于点 E ． （1）求抛物线 y ＝﹣ x 2 + bx + c 的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为 h （ h ＞0），在平移过程中，该抛物线与直线 BC 始终有交点，求 h 的最大值； （3） M 是（1）中抛物线上一点， N 是直线 BC 上一点．是否存在以点 D ， E ， M ， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【 例3 】 ．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数 y ＝﹣ x 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C （0，3），对称轴为直线 x ＝﹣1，顶点为点 D ． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 DA ， DC ， CB ， CA ，如图 ① 所示，求证：∠ DAC ＝∠ BCO ； （3）如图 ② ，延长 DC 交 x 轴于点 M ，平移二次函