专题05 线段的数量和位置关系的探究题
线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系,线段的位置关系一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。
线段的数量关系和位置关系的探究题,一般通过以下方式求解:
(1)通过证明三角形全等或者三角形相似,再根据全等三角形或相似三角形的性质,得到线段的数量关系,通过转化可以求解。
(2)通过利用勾股定理和直角三角形的性质,得到线段的数量与位置关系。
(3)通过证明或者构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质和三线合一的性质,得到线段的数量与位置关系。
(4)通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形,利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质,得到线段的数量与位置关系。
(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)
【思维探究】如图1,在四边形
ABCD
中,∠
BAD
=60°,∠
BCD
=120°,
AB
=
AD
,连接
AC
.求证:
BC
+
CD
=
AC
.
(1)小明的思路是:延长
CD
到点
E
,使
DE
=
BC
,连接
AE
.根据∠
BAD
+∠
BCD
=180°,推得∠
B
+∠
ADC
=180°,从而得到∠
B
=∠
ADE
,然后证明
ADE
≌
ABC
,从而可证
BC
+
CD
=
AC
,请你帮助小明写出完整的证明过程.
(2)【思维延伸】如图2,四边形
ABCD
中,∠
BAD
=∠
BCD
=90°,
AB
=
AD
,连接
AC
,猜想
BC
,
CD
,
AC
之间的数量关系,并说明理由.
(3)【思维拓展】在四边形
ABCD
中,∠
BAD
=∠
BCD
=90°,
AB
=
AD
=
,
AC
与
BD
相交于点
O
.若四边形
ABCD
中有一个内角是75°,请直接写出线段
OD
的长.
(1)如图1中,延长
CD
到点
E
,使
DE
=
BC
,连接
AE
.证明△
ADE
≌△
ABC
(SAS),推出∠
DAE
=∠
BAC
,
AE
=
AC
,推出△
ACE
的等边三角形,可得结论;
(2)结论:
CB
+
CD
=
AC
.如图2中,过点
A
作
AM
⊥
CD
于点
M
,
AN
⊥
CB
交
CB
的延长线于点
N
.证明△
AMD
≌△
ANB
(AAS),推出
DM
=
BN
,
AM
=
AN
,证明
Rt
△
ACM
≌
Rt
△
ACN
(HL),推出
CM
=
CN
,可得结论;
(3)分两种情形:如图3-1中,当∠
CDA
=75°时,过点
O
作
OP
⊥
CB
于点
P
,
CQ
⊥
CD
于点
Q
.如图3-2中,当∠
CBD
=75°时,分别求解即可.
【答案】(1)
AC
=
BC
+
CD
;理由见详解;
(2)
CB
+
CD
=
AC
;理由见详解;
(3)
或
【详解】
(1)证明:如图1中,延长
CD
到点
E
,使
DE
=
BC
,连接
AE
.
∵∠
BAD
+∠
BCD
=180°,
∴∠
B
+∠
ADC
=180°,
∵∠
ADE
+∠
ADC
=180°
∴∠
B
=∠
ADE
,
在△
ADE
和△
ABC
中,
,
∴△
ADE
≌△
ABC
(SAS),
∴∠
DAE
=
【专项突破】专题05 线段的数量和位置关系的探究题(含解析)-2024年中考数学压轴大题