【专项突破】专题05 线段的数量和位置关系的探究题（含解析）-2024年中考数学压轴大题

专题05 线段的数量和位置关系的探究题 线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。 线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解： （1）通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到线段的数量关系，通过转化可以求解。 （2）通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。 （3）通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段的数量与位置关系。 （4）通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质，得到线段的数量与位置关系。 （2022·辽宁朝阳·统考中考真题） 【思维探究】如图1，在四边形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，∠ BCD ＝120°， AB ＝ AD ，连接 AC ．求证： BC + CD ＝ AC ． (1)小明的思路是：延长 CD 到点 E ，使 DE ＝ BC ，连接 AE ．根据∠ BAD +∠ BCD ＝180°，推得∠ B +∠ ADC ＝180°，从而得到∠ B ＝∠ ADE ，然后证明 ADE ≌ ABC ，从而可证 BC + CD ＝ AC ，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形 ABCD 中，∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°， AB ＝ AD ，连接 AC ，猜想 BC ， CD ， AC 之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形 ABCD 中，∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°， AB ＝ AD ＝ ， AC 与 BD 相交于点 O ．若四边形 ABCD 中有一个内角是75°，请直接写出线段 OD 的长． （1）如图1中，延长 CD 到点 E ，使 DE = BC ，连接 AE ．证明△ ADE ≌△ ABC （SAS），推出∠ DAE =∠ BAC ， AE = AC ，推出△ ACE 的等边三角形，可得结论； （2）结论： CB + CD = AC ．如图2中，过点 A 作 AM ⊥ CD 于点 M ， AN ⊥ CB 交 CB 的延长线于点 N ．证明△ AMD ≌△ ANB （AAS），推出 DM = BN ， AM = AN ，证明 Rt △ ACM ≌ Rt △ ACN （HL），推出 CM = CN ，可得结论； （3）分两种情形：如图3-1中，当∠ CDA =75°时，过点 O 作 OP ⊥ CB 于点 P ， CQ ⊥ CD 于点 Q ．如图3-2中，当∠ CBD =75°时，分别求解即可． 【答案】(1) AC = BC + CD ；理由见详解； (2) CB + CD = AC ；理由见详解； (3) 或 【详解】 （1）证明：如图1中，延长 CD 到点 E ，使 DE = BC ，连接 AE ． ∵∠ BAD +∠ BCD =180°， ∴∠ B +∠ ADC =180°， ∵∠ ADE +∠ ADC =180° ∴∠ B =∠ ADE ， 在△ ADE 和△ ABC 中， ， ∴△ ADE ≌△ ABC （SAS）， ∴∠ DAE =