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【专项突破】专题05 线段的数量和位置关系的探究题(含解析)-2024年中考数学压轴大题

全国通用 2023-2024学年 中考 数学 DOCX   45页   下载0   2024-05-30   浏览15   收藏0   点赞0   评分-   11229字   免费文档
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专题05 线段的数量和位置关系的探究题 线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系,线段的位置关系一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。 线段的数量关系和位置关系的探究题,一般通过以下方式求解: (1)通过证明三角形全等或者三角形相似,再根据全等三角形或相似三角形的性质,得到线段的数量关系,通过转化可以求解。 (2)通过利用勾股定理和直角三角形的性质,得到线段的数量与位置关系。 (3)通过证明或者构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质和三线合一的性质,得到线段的数量与位置关系。 (4)通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形,利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质,得到线段的数量与位置关系。 (2022·辽宁朝阳·统考中考真题) 【思维探究】如图1,在四边形 ABCD 中,∠ BAD =60°,∠ BCD =120°, AB = AD ,连接 AC .求证: BC + CD = AC . (1)小明的思路是:延长 CD 到点 E ,使 DE = BC ,连接 AE .根据∠ BAD +∠ BCD =180°,推得∠ B +∠ ADC =180°,从而得到∠ B =∠ ADE ,然后证明 ADE ≌ ABC ,从而可证 BC + CD = AC ,请你帮助小明写出完整的证明过程. (2)【思维延伸】如图2,四边形 ABCD 中,∠ BAD =∠ BCD =90°, AB = AD ,连接 AC ,猜想 BC , CD , AC 之间的数量关系,并说明理由. (3)【思维拓展】在四边形 ABCD 中,∠ BAD =∠ BCD =90°, AB = AD = , AC 与 BD 相交于点 O .若四边形 ABCD 中有一个内角是75°,请直接写出线段 OD 的长. (1)如图1中,延长 CD 到点 E ,使 DE = BC ,连接 AE .证明△ ADE ≌△ ABC (SAS),推出∠ DAE =∠ BAC , AE = AC ,推出△ ACE 的等边三角形,可得结论; (2)结论: CB + CD = AC .如图2中,过点 A 作 AM ⊥ CD 于点 M , AN ⊥ CB 交 CB 的延长线于点 N .证明△ AMD ≌△ ANB (AAS),推出 DM = BN , AM = AN ,证明 Rt △ ACM ≌ Rt △ ACN (HL),推出 CM = CN ,可得结论; (3)分两种情形:如图3-1中,当∠ CDA =75°时,过点 O 作 OP ⊥ CB 于点 P , CQ ⊥ CD 于点 Q .如图3-2中,当∠ CBD =75°时,分别求解即可. 【答案】(1) AC = BC + CD ;理由见详解; (2) CB + CD = AC ;理由见详解; (3) 或 【详解】 (1)证明:如图1中,延长 CD 到点 E ,使 DE = BC ,连接 AE . ∵∠ BAD +∠ BCD =180°, ∴∠ B +∠ ADC =180°, ∵∠ ADE +∠ ADC =180° ∴∠ B =∠ ADE , 在△ ADE 和△ ABC 中, , ∴△ ADE ≌△ ABC (SAS), ∴∠ DAE =
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