【几何模型解密】专题19 378与578模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题19 378与578模型 模型的概述：边长为3、7、8或5、7、8的三角形。 问题一： 如图所示，当两个三角形的边长为3、7、8和5、7、8时，求这两个三角形面积。 思路： 1）过点C作 CM ⊥ AB 于点M 设 BM =x 则A M =3+x 在 R t ∆ ACM 中 AM 2 +CM 2 =AC 2 即 CM 2 =AC 2 - AM 2 在 R t ∆ BCM 中 BM 2 +CM 2 =BC 2 即 CM 2 =BC 2 - BM 2 ∴ AC 2 - AM 2 = BC 2 - BM 2 即8 2 - （3+x） 2 = 7 2 - x 2 解得x=1 ∴C M = 4 ∴ S ∆ ABC= A B • CM = •3• 4 =6 2）过点 F 作 FN ⊥ DE 于点 N 设 DN =x 则 NE = 5- x 在 R t ∆ DNF 中 DN 2 +NF 2 =DF 2 即 NF 2 =DF 2 - DN 2 在 R t ∆ ENF 中 NE 2 +NF 2 =EF 2 即 NF 2 =EF 2 - NE 2 ∴ DF 2 - DN 2 = EF 2 - NE 2 即 7 2 - x 2 = 8 2 - （5-x） 2 解得x=1 ∴ NF = 4 ∴ S ∆ DEF= DE • NF = • 5 • 4 = 10 问题二： 如图所示,已知 ∆ ABC 为等边三角形，A C=8 ， AD=3,BD=5,CH 为高 求 ∆ ACD 、 ∆ BCD 面积 思路： 根据勾股定理/锐角三角函数可求得C H=4 所以 S ∆ ACD A D • CH = •3• 4 =6 S ∆ BCD= BD • CH = • 5 • 4 = 10 总结：1） 边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形可以构成一个边长为8的等边三角形，且该等边三角形的高( CH) 即为两个三角形的高。 2） 边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形中边长为7所对的角为60°。 【培优过关练】 1．（2023春·八年级课时练习）已知在△ ABC 中， AB ＝7， AC ＝8， BC ＝5，则∠ C ＝（      ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 2．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（      ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知在△ ABC 中， AB ＝8， AC ＝7， BC ＝3，则∠ B ＝（      ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 4．（2021·全国·八年级专题练习）在△ ABC 中， AB ＝16， AC ＝14， BC ＝6，则△ ABC 的面积为（      ） A．24 B．56 C．48 D．112 5．（2017·湖北武汉·中考真题）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 6．（2019春·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．10 C．10 D．28 二、填空题 7．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学