专题20 勾股定理
【
专题
目录】
技巧
1
：
判定直角的四种方法
技巧
2
：
巧用勾股定理解折叠问题
技巧
3
：
巧用勾股定理求最短路径的长
【题型】一、
勾股定理理解三角形
【题型】二、勾股定理与网格问题
【题型】三、解直角三角形在实际中的应用
【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系
【题型】五、求梯子滑落高度
【题型】六、求旗杆高度
【题型】七、求蚂蚁爬行距离
【题型】八、求大树折断前的高度
【题型】九、
求台阶上的地毯长度
【题型】十、
利用勾股定理选址使到两地距离相等
【考纲要求】
1
、
了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．
2
、
掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题
.
【考点总结】一、直角三角形与勾股定理
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
直角三角形
性质
①
直角三角形的两锐角互余
;
②
直角三角形
30°
角所对的直角边等于斜边的
一半
;
③
直角三角形中
,
斜边上的
中线
长等于斜边长的一半
.
勾股定理概念
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果
直角三角形
的两直角边分别为
，
，斜边为
，那么
变式：
1
）
a²=c²- b²
2
）
b²=c²- a²
适用范围：
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明
方法一：
，
，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：
，
，化简得证
勾股数
勾股数概念：
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即
中，
，
，
为正整数时，称
，
，
为一组勾股数
常见的勾股数：
如
；
；
；
等
扩展：
用含字母的代数式表示
组勾股数：
1
）
（
为正整数）；
2
）
（
为正整数）
3
）
（
，
为正整数）
注意：
每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。
【技巧归纳】
技巧
1
：
判定直角的四种方法
【类型】一、
利用三边的数量关系说明直角
1
．如图，在
△
ABC
中，
D
为
BC
边上一点，且
AB
＝
10
，
BD
＝
6
，
AD
＝
8
，
AC
＝
17
，求
CD
的长．
【类型】二、
利用转化为三角形法构造直角三角形
2
．如图，在四边形
ABCD
中，
∠
B
＝
90°
，
AB
＝
2
，
BC
＝
，
CD
＝
5
，
AD
＝
4
，求
S
四边形
ABC
D
.
【类型】三、
利用倍长中线法构造直角三角形
3
．如图，在
△
ABC
中，
D
为边
BC
的中点，
AB
＝
【考点题型归纳与分层精练】专题20 勾股定理(含解析)-2024年中考数学一轮复习（全国通用）
