【解题大招】模型06 射影定理模型（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 1.射影定理定义 ① 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ② 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2. 如图在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AD 是斜边 BC 上的高，有射影定理如下： ① AD 2 ＝ BD • DC ； ② AB 2 ＝ BD • BC ； AC 2 ＝ CD • BC ． ① AD 2 ＝ BD • DC ； ② AB 2 ＝ BD • BC ； AC 2 ＝ CD • BC ． 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 例题精讲 例题精讲 【例1】 ．在矩形 ABCD 中， BE ⊥ AC 交 AD 于点 E ， G 为垂足．若 CG ＝ CD ＝1，则 AC 的长是 　 　 ． 【例2】 ．如图：二次函数 y ＝ ax 2 + bx +2的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，若 AC ⊥ BC ，则 a 的值为（　　） A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2 【例3】 ．将 沿弦 BC 折叠，交直径 AB 于点 D ，若 AD ＝4， DB ＝5，则 BC 的长是（　　） A．3 B．8 C． D．2 变式训练 【变式1】．如图，在△ ABC 中，若 AB ＝ AC ， BC ＝2 BD ＝6， DE ⊥ AC ，则 AC • EC 的值是 　　 ． 【变式2】 ．如图所示，在矩形 ABCD 中， AE ⊥ BD 于点 E ，对角线 AC ， BD 交于 O ，且 BE ： ED ＝1：3， AD ＝6 cm ，则 AE ＝ 　 　 cm ． 【变式3】．如图，若抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0）与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C ，若∠ OAC ＝∠ OCB ．则 ac 的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C． D． 【变式4】．如图，正方形 ABCD 中， E 为 AB 上一点， AF ⊥ DE 于点 F ，已知 DF ＝5 EF ＝5，过 C 、 D 、 F 的 ⊙ O 与边 AD 交于点 G ，则 DG ＝____________. 【变式5】．如图，在△ ABC 中，以 AC 边为直径的 ⊙ O 交 BC 于点 D ，过点 B 作 BG ⊥ AC 交 ⊙ O 于点 E 、 H ，连 AD 、 ED 、 EC ．若 BD ＝8， DC ＝6，则 CE 的长为 　 　 ． 【变式6】．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A 作 AE ⊥ BC 交 BC 于点 E ，点 F 在 BC 的延长线上，且 CF ＝ BE ，连接 DF ． （1）求证：四边形 AEFD 是矩形； （2）连接 AC ，若∠ ACD ＝90°， AE ＝4， CF ＝2，求 EC 和 AC 的长． 实战演练 实战演练 1．如图，在矩形 ABCD 中， DE ⊥ AC ，垂足为点 E ．若sin∠ ADE ＝ ， AD ＝4，则 AB 的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在矩形 ABCD 中， BD ＝2 ．对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 D 作 AC 的垂线，交 AC 于点 E ， AE ＝3 C