【压轴题】专题20二次函数与对称变换综合问题 （全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题20二次函数与对称变换综合问题 【 例1 】 （2021秋•开化县月考）定义：关于 x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“镜像抛物线”． 例如： y ＝（ x ﹣ h ） 2 ﹣ k 的“镜像抛物线”为 y ＝﹣（ x ﹣ h ） 2 + k ． （1）请写出抛物线 y ＝（ x ﹣2） 2 ﹣4的顶点坐标 　 　 ，及其“镜像抛物线” y ＝﹣（ x ﹣2） 2 +4的顶点坐标 　 　 ．写出抛物线 的“镜像抛物线”为 　 　 ． （2）如图，在平面直角坐标系中，点 B 是抛物线 L ： y ＝ ax 2 ﹣4 ax +1上一点，点 B 的横坐标为1，过点 B 作 x 轴的垂线，交抛物线 L 的“镜像抛物线”于点 C ，分别作点 B ， C 关于抛物线对称轴对称的点 B '， C '，连接 BC ， CC '， B ' C '， BB '． ① 当四边形 BB ' C ' C 为正方形时，求 a 的值． ② 求正方形 BB ' C ' C 所含（包括边界）整点个数．（说明：整点是横、纵坐标均为整数的点） 【 例2 】 （2022•巩义市模拟）已知，二次函数 y ＝ ax 2 + bx ﹣3 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（﹣1，0），且 OB ＝ OC ． （1）求二次函数的解析式； （2）当0≤ x ≤4 时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）设点 C '与点 C 关于该抛物线的对称轴对称．在 y 轴上是否存在点 P ，使△ PCC '与△ POB 相似，且 PC 与 PO 是对应边？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【 例3 】 （2022•济宁二模）如图，抛物线 y ＝﹣ x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点的坐标为（3，0）， C 点的坐标为（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）图1中，点 P 为抛物线上的动点，且位于第二象限，过 P ， B 两点作直线 l 交 y 轴于点 D ，交直线 AC 于点 E ．是否存在这样的直线 l ：以 C ， D ， E 为顶点的三角形与△ ABE 相似？若存在，请求出这样的直线 l 的解析式；若不存在，请说明理由． （3）图2中，点 C 和点 C '关于抛物线的对称轴对称，点 M 在抛物线上，且∠ MBA ＝∠ CBC '，求 M 点的横坐标． 【 例4 】 （2022•合肥四模）已知抛物线 L 1 ： y ＝ ax 2 + bx ﹣3与 x 轴交于点 A （﹣3，0）， B （1，0）． （1）求抛物线的表达式； （2）若两个抛物线的交点在 x 轴上，且顶点关于 x 轴对称，则称这两个抛物线为“对称抛物线”，求抛物线 L 1 对称抛物线 L 2 的解析式； （3）在（2