【几何模型解密】专题10 平行线中点模型与雨伞模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题10 平行线中点模型与雨伞模型 平行线中点模型概述： 平行线之间夹中点，通过延长过中点的线段与平行线相交，从而构造一对全等三角形，并将已知条件中的线段和角进行转移。 平行线中点 模型： 已知A B ∥ CD ，点E，F分别在直线A B 、C D 上，点O为线段E F 的中点，延长P O 交C D 于点Q，则 ∆POE ≌ ∆QOF 证明: ∵ A B ∥ CD ∴∠P EO = ∠ OFQ ∵ 点O为线段E F 的中点 ∴E O=OF 在 ∆POE 和 ∆QOF 中 ∠P EO = ∠ OFQ E O=OF ∠P OE = ∠ QOF ∴ ∆POE ≌ ∆QOF （ ASA ） 雨伞模型： 如图A P 平分∠ BAC ，B D ⊥ AP ，垂足为点D，延长B D 交A C 于点C , 则 ∆ABD ≌ ∆ACD ，A B=AC ， BD=CD 证明：∵ A P 平分∠ BAC ∴∠B AD= ∠ CAD ∵ B D ⊥ AP ∴∠B DA= ∠ CDA 在 ∆ABD 和 ∆ACD 中 ∠B AD= ∠ CAD AD=AD ∠B DA= ∠ CDA ∴ ∆ABD ≌ ∆ACD （ ASA ） ∴ A B=AC ， BD=CD 【 平行线中点模型 过关练】 1．如图，正方形 的边长为 ，在正方形 的右侧作矩形 ，点 在边 的延长线上， ，点 ， ， 在同一条直线上， ，连接 ，点 是 的中点，则线段 的长为（      ） A． B． C． D． 2 ．矩形 ABCD 与矩形 CEFG 如图放置，点 B 、 C 、 E 共线，点 C 、 D 、 G 共线，连接 AF ，取 AF 的中点 H ，连接 GH ．若 BC ＝ EF ＝3， CD ＝ CE ＝1，则 GH ＝_______． 3 ．如图， □ABCD 的顶点 C 在等边 的边 BF 上，点 E 在 AB 的延长线上， G 为 DE 的中点，连接 CG ．若 ， ，则 BG 的长为______． 4 ．如图， ▱ ABCD 的顶点 C 在等边 △ BEF 的边 BF 上，点 E 在 AB 的延长线上， G 为 DE 的中点，连接 CG ．若 AD ＝3， AB ＝ CF ＝2，则 CG 的长为 _____． 5 ．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为___________． 6 ．如图，已知等边三角形 的边长为4，过 边上一点 P 作 于点 E ， Q 为 延长线上一点，取 ，连接 ，交 于 M ，则 的长为______． 7 ．如图，在等边△ ABC 中，点 D 是边 AB 上一点， E 是 BC 延长线上一点， CE ＝ DA ，连接 DE 交 AC 于点 F ，过点 D 作 DG ⊥ AC 于点 G ，过点 D 作 DH ∥ BC 交 AC 于点 H ． (1)求证： AG ＝ AD ； (2)求证： DF ＝ EF ； (3)若 CF ＝ CE ， S △ ADG ＝2，求△ DGF 的面积． 8 ．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.