【压轴题】专题19二次函数与平移变换综合问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题19二次函数与平移变换综合问题 【例1】 ．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ＝ x 2 ﹣2 x ﹣3的顶点为 A ，与 y 轴交于点 C ，线段 CB ∥ x 轴，交该抛物线于另一点 B ． （1）求点 B 的坐标及直线 AC 的解析式； （2）当二次函数 y ＝ x 2 ﹣2 x ﹣3的自变量 x 满足 m ≤ x ≤ m +2时，此函数的最大值为 p ，最小值为 q ，且 p ﹣ q ＝2，求 m 的值； （3）平移抛物线 y ＝ x 2 ﹣2 x ﹣3，使其顶点始终在直线 AC 上移动，当平移后的抛物线与射线 BA 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为 n ，请直接写出 n 的取值范围． 【例 2 】 ．（2022•常州）已知二次函数 y ＝ ax 2 + bx +3的自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 4 3 0 ﹣5 ﹣12 … （1）求二次函数 y ＝ ax 2 + bx +3的表达式； （2）将二次函数 y ＝ ax 2 + bx +3的图象向右平移 k （ k ＞0）个单位，得到二次函数 y ＝ mx 2 + nx + q 的图象，使得当﹣1＜ x ＜3时， y 随 x 增大而增大；当4＜ x ＜5时， y 随 x 增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数 y ＝ mx 2 + nx + q 的表达式 y ＝ 　 　 ，实数 k 的取值范围是 　 　 ； （3） A 、 B 、 C 是二次函数 y ＝ ax 2 + bx +3的图象上互不重合的三点．已知点 A 、 B 的横坐标分别是 m 、 m +1，点 C 与点 A 关于该函数图象的对称轴对称，求∠ ACB 的度数． 【例 3 】 ．（2022•连云港）已知二次函数 y ＝ x 2 +（ m ﹣2） x + m ﹣4，其中 m ＞2． （1）当该函数的图象经过原点 O （0，0），求此时函数图象的顶点 A 的坐标； （2）求证：二次函数 y ＝ x 2 +（ m ﹣2） x + m ﹣4的顶点在第三象限； （3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线 y ＝﹣ x ﹣2上运动，平移后所得函数的图象与 y 轴的负半轴的交点为 B ，求△ AOB 面积的最大值． 【例 4 】 ．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数 y ＝﹣ x 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点，与 y 轴交于点 C （0，3），对称轴为直线 x ＝﹣1，顶点为点 D ． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 DA ， DC ， CB ， CA ，如图 ① 所示，求证：∠ DAC ＝∠ BCO ； （3）如图 ② ，延长 DC 交 x 轴于点 M ，平移二次函数 y ＝﹣ x 2 + bx + c 的图象，使顶点 D 沿着射线 DM 方向平移到点 D 1 且 CD 1 ＝2 CD ，得到新抛物线 y