【几何模型解密】专题16 婆罗摩笈多模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题16 婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件 ：1）公共顶点：顶点C 2）等线段： BC=DC CE=CG 3）顶角相等： ∠ DCB= ∠ GCE= 90° 一、基础模型 已知：四边形A BCD 、C EFG 为正方形，连接B E 、 DG ，I、C、H三点共线 若点I为中点，则C H ⊥ BE ， B E=2IC ，S ∆DCG =S ∆BCE 证明（思路）： ①延长I C 到点P，使P I=IC ，连接 PG 先证明 ∆ DIC ≌ ∆GIP(SAS) ，所以D C=PG ，∠ DCI= ∠ P 则D C ‖ P G ∵四边形A BCD 、C EFG 为正方形 ∴ DC=BC CE=CG ∠ GCE= ∠ BCD= 90° ∴ BC =PG ∵∠ PGC= =180 °-∠ DCG ( 两直线平行同旁内角互补 ) ∠ BCE =360°-90°-90°-∠D CG=180 °-∠ DCG ∴∠ PGC =∠ BCE 则 ∆ PCG ≌ ∆BEC(SAS) ∴∠P CG= ∠ CEB ∵ ∠P CG +∠E CH=180 °-90°=90° ∴∠ CEB +∠E CH= 90° ∴∠ CHE= 90° ∴ CH ⊥ BE ②∵ ∆ PCG ≌ ∆BEC ∴ PC=BE ∴ BE=2IC ③ S ∆EBC =S ∆PCG = S ∆PIG + S ∆GCI = S ∆DIC + S ∆GCI =S ∆DCG 【问题二 已知垂直证中点】 已知：四边形A BCD 、C EFG 为正方形，连接B E 、 DG ，I、C、H三点共线 若C H ⊥ BE, 则点I为中点， B E=2IC ，S ∆DCG =S ∆BCE 证明（思路）： ①分别过点D、G作 DM ⊥ CI 与点M，N G ⊥ CI 于点N ∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3 由已知条件可得 ∆ CDM ≌ ∆BCH(AAS) ∴D M=CH CM=BH 同理 ∆ GCN ≌ ∆CEH(AAS) ∴ NG=CH NC=HE ∴ NG=DM 再证明 ∆ DMI ≌ ∆GNI(AAS) ∴ DI=IG MI=NI 则点I为中点 ② BE=BH+HE=CM+NC=NM+NC+NC=2NI+2NC=2IC ③ ∵S ∆BHC =S ∆DMC S ∆GNC =S ∆CHE S ∆DMI =S ∆GNI ∴ S ∆DCG = S ∆DCI + S ∆GNI + S ∆CNG = S ∆DMC + S ∆GNC = S ∆BHC + S ∆CHE = S ∆BCE 二、变形 变形一： 如图 ∆AOB 、 ∆COD 为等腰直角三角形，连接A C 、B D ，M N 过点O且与 AC 交于点N、B D 交于点 M 则有如下结论： 1）若点 N 为中点，则 MN ⊥ BD ， 2）若 MN ⊥ BD ，则点 N 为中点 3） B D=2ON 4） S ∆BOD =S ∆AOC 证明（思路）： 1）延长M N 至点H，使 NH = NO ，连接H C 先证明 ∆ ANO ≌ ∆CNH(SAS) ，所以 AO=HC ，∠ AON= ∠ H 则 AO ‖ HC 再 证明 ∆ HOC ≌ ∆BDO(SAS) ∴∠ COH= ∠ ODB HO=BD ∴ BD=2ON ， S ∆BOD =S ∆AOC ∵ ∠ COH +∠ DOM =90° ∴∠ ODB +∠ DOM= 90° ∴∠ OMD= 90° ∴ MN ⊥ BD 2）方法一：构造一线三垂直模型（与问题二证明方法相同） 方法二：在B D 上截取一点P，使B P = ON ，连接O P 先证明 ∆ ANO ≌ OBP(SAS) ∴∠A NO= ∠ BPO AN=OP ON=BP 再 证明 ∆ NOC ≌ ∆PDO(SAS) ∴ NC=OP ON