【解题大招】模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 R 1 ．三角形的五心 三角形的五心 定义 外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R 2 ．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ① 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ② 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③ 重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） R 3 ．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ① “接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ② 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③ 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． R 4 ．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． R 5 . 垂心 ：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心 . 例题精讲 例题精讲 例题精讲 例题精讲 考点一：三角形重心问题 【 例1 】 ．如图，△ ABC 的中线 BD 、 CE 相交于点 F ，若四边形 AEFD 的面积为6，则△ CBF 的面积为 　 　 ． 变式训练 【 变式1-1 】 ． 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， CO ⊥ AB 于点 O ，中线 AE 与 CO 相交于点 F ，则 的值为 　 　 ． 【 变式1-2 】 ．如图，在平面直角坐标系中，点 B （﹣2，3），点 C 在 x 轴负半轴， OB ＝