【几何模型解密】专题14 将军饮马问题（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）

专题14 将军饮马问题 模型的概述： 唐朝诗 人李颀的诗《古从军行》 开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题 ： 将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边 让战马饮水 后再到B点宿营 。问如何行 走才能使总的路程最短。 模型一（两点在河的异侧）： 将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边 让战马饮水 后再到B点宿营 ，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法： 如右图，连接A B ，与线段L交于点M,在 M 处渡河距离最短，最短距离为线段A B 的长。 模型二（两点在河的同侧）： 将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发， 需先 走到河边 让战马饮水 后再到B点宿营 ，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。 方法： 如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 模型三： 如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河A B 、 BC 的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在A B 、 BC 何处侦查才能最快完成任务 并求最短距离 。 数学描述： 如图在直线A B 、 BC 上分别找点M、N，使得 ∆ PMN 周长最小。 方法： 如右图， 分别 作点P关于直线AB 、 BC的对称点P’ 、 P’’ ，连接 P’ P’’ ， 与 两直线 的交点 即为所求点M、 N，最短距离为线段P’ P’’的长。 模型四 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点 Q 处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在A B 、 BC 何处侦查才能最快完成任务 并求最短距离 。 数学描述： 如图在直线A B 、 BC 上分别找点M、N，使得 四边形P QNM 周长最小。 方法： 如右图， 分别 作点P 、 点Q关于直线AB 、 BC的对称点P’ 、 Q’ ，连接 P’ Q’ ， 与 两直线 的交点 即为所求点M、 N，最短距离为线段 ( PQ+P’Q’)的长。 模型一-模型四的理论依据： 两点之间线段最短。 模型五： 已知点P在直线A B 、B C 的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法： 如右图， 过点P作P N ⊥ BC ，垂足为点N， PN 与A B 相交于点M， 与 两直线 的交点 即为所求点M、 N，最短距离为线段PN的长。 模型六： 已知点P在直线A B 、B C 的内侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值 方法： 如右图，作点P关于直线AB的对称点P’， 过点P ’ 作P ’N ⊥ BC ，垂足为点N， P’N