1．弦切角定理
（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如图所示，直线
PT
切圆
O
于点
C
，
BC
、
AC
为圆
O
的弦，则有∠
PCA
＝∠
PBC
（∠
PCA
为弦切角）．
2、相交弦定理
【结论1】如图 ，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则
①AP·BP＝CP·DP
,
②AP·BP＝CP·DP＝
r
2
－OP
2.
3、切割线定理
【结论2】如图 ，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA
2
＝PB·PC，②PA
2
＝PB·PC＝PO
2
－r
2
4、割线定理
【结论3】如图 ，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则
①PA·PB＝PC·PD
②PA·PB＝PC·PD＝OP
2
－
r
2
口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等
例题精讲
例题精讲
考点一：相交弦定理
【例1】
．已知：如图弦
AB
经过
⊙
O
的半径
OC
的中点
P
，且
AP
＝2，
PB
＝3，则是
⊙
O
的半径等于（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练
【变式1-1】
．如图，
⊙
O
的弦
AB
、
CD
相交于点
E
，若
CE
：
BE
＝2：3，则
AE
：
DE
＝
．
【变式1-2】
．如图，在
⊙
O
的内接四边形
ABCD
中，
AC
⊥
BD
，
CA
＝
CB
，过点
A
作
AC
的垂线交
CD
的延长线于点
E
，连结
BE
．若cos∠
ACB
＝
，则
的值为
．
考点二：弦切角定理
【例2】
．如图，割线
PAB
过圆心
O
，
PD
切
⊙
O
于
D
，
C
是
上一点，∠
PDA
＝20°，则∠
C
的度数是
度．
变式训练
【变式2-1】
．如图，已知∠
P
＝45°，角的一边与
⊙
O
相切于
A
点，另一边交
⊙
O
于
B
、
C
两点，
⊙
O
的半径为
，
AC
＝
，则
AB
的长度为（ ）
A．
B．6
C．
D．5
【变式2-2】
．如图，
BP
是
⊙
O
的切线，弦
DC
与过切点的直径
AB
交于点
E
，
DC
的延长线和切线交于点
P
，连接
AD
，
BC
．若
DE
＝
DA
＝
，
BC
＝2，则线段
CP
的长为
．
考点三：切割线定理
【例3】
．如图，直线
PA
过半圆的圆心
O
，交半圆于
A
，
B
两点，
PC
切半圆与点
C
，已知
PC
＝3，
PB
＝1，则该半圆的半径为
．
变式训练
【变式3-1】
．如图，Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
O
为
AB
上一点，以
O
为圆心，
OA
为半径作圆
O
与
BC
相切于点
D
，分别交
AC
、
AB
于
E
、
F
，若
CD
＝2
CE
＝4，则
⊙
O
的直径为（ ）
A．10
B．
C．5
【解题大招】模型26 圆幂定理（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
