【压轴题】专题7二次函数与菱形存在性问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题7二次函数与菱形存在性问题 我们已经知道菱形是特殊的平行四边形，它的判定方法一共有五种，分别是 ①四边都相等的四边形是菱形；②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ；③邻边相等的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ；⑤一条对角线平分一个顶角的平行四边形是菱形. 在做几何证明题的时候我们常用的判定方法主要是前三种. 二次函数和菱形存在性问题作为压轴题目，结合了“分类讨论思想”，“方程思想”“菱形的判定方法”，势必要比单纯的菱形判定思考难度要大的多，纵观历年中考真题，菱形存在性问题主要是以“两定两动”为设问方式，其中两定指的是四边形四个顶点其中有两个顶点的坐标是确定的或者是可求解的；两动指的是其中一个动点在一条直线或者抛物线上，另外一个动点是平面内任意一点或者该动点也在一条直线或者抛物线上. 【 例1 】 （2020•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c （ a ≠0）的对称轴为直线 x ＝4，抛物线与 x 轴相交于 A （2，0）， B 两点，与 y 轴交于点 C （0，6），点 E 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点 E 的坐标； （2）若将该抛物线的图象绕 x 轴上一点 M 旋转180°，点 C 、 E 的对应点分别是点 C '、 E '，当以 C 、 E 、 C '、 E '为顶点的四边形是菱形时，求点 M 的坐标及旋转后的抛物线的表达式， 【 例2 】 （2021•齐齐哈尔三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax 2 ﹣ x + c （ a ≠0）与 x 轴交于点 A 、 B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C ． OA 、 OB 的长是不等式组 的整数解（ OA ＜ OB ），点 D （2， m ）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式及 m 的值； （2） y 轴上的点 E 使 AE 和 DE 的值最小，则 OE ＝ 　 　 ； （3）将抛物线向上平移，使点 C 落在点 F 处．当 AD ∥ FB 时，抛物线向上平移了 　 　 个单位； （4）点 M 在在 y 轴上，平面直角坐标系内存在点 N 使以点 A 、 B 、 M 、 N 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点 N 的坐标． 【 例3 】 （2022•烟台）如图，已知直线 y ＝ x +4与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c 经过 A ， C 两点，且与 x 轴的另一个交点为 B ，对称轴为直线 x ＝﹣1． （1）求抛物线的表达式； （2） D 是第二象限内抛物线上的动点，设点 D 的横坐标为 m ，求四边形 ABCD 面积 S 的最大值及此