2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题8二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形;
(3)有三个角为直角的四边形是矩形.
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外,还有“对角线相等”或“
一个角
为直角”,因此相比起平行四边形,坐标系中的矩形满足以下3个等式:
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量,代入可以得到三元一次方程组,可解.
确定了有3个未知量,则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点,多则可以有3个.下:
同时,也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式,进而得到直线AD或BC的解析式,从而确定C或D的坐标.
【
例1
】
.(2022•泸州)如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知抛物线
y
=
ax
2
+
x
+
c
经过
A
(﹣2,0),
B
(0,4)两点,直线
x
=3与
x
轴交于点
C
.
(1)求
a
,
c
的值;
(2)经过点
O
的直线分别与线段
AB
,直线
x
=3交于点
D
,
E
,且△
BDO
与△
OCE
的面积相等,求直线
DE
的解析式;
(3)
P
是抛物线上位于第一象限的一个动点,在线段
OC
和直线
x
=3上是否分别存在点
F
,
G
,使
B
,
F
,
G
,
P
为顶点的四边形是以
BF
为一边的矩形?若存在,求出点
F
的坐标;若不存在,请说明理由.
【
例2
】
(2022•绥化)如图,抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
交
y
轴于点
A
(0,﹣4),并经过点
C
(6,0),过点
A
作
AB
⊥
y
轴交抛物线于点
B
,抛物线的对称轴为直线
x
=2,
D
点的坐标为(4,0),连接
AD
,
BC
,
BD
.点
E
从
A
点出发,以每秒
个单位长度的速度沿着射线
AD
运动,设点
E
的运动时间为
m
秒,过点
E
作
EF
⊥
AB
于
F
,以
EF
为对角线作正方形
EGFH
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点
G
随着
E
点运动到达
BC
上时,求此时
m
的值和点
G
的坐标;
(3)在运动的过程中,是否存在以
B
,
G
,
C
和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形,如果存在,直接写出点
G
的坐标,如果不存在,请说明理由.
【
例3
】
(2022•黔东南州)如图,抛物线
y
=
ax
2
+2
x
+
c
的对称轴是直线
x
=1,与
x
轴交于点
A
,
B
(3,0),与
y
轴交于点
C
,连接
AC
.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点
D
是第一象限内抛物线上的一个动点,过点
D
作
DM
⊥
x
轴,垂足为点
M
,
DM
交直线
BC
于点
N
,是否存在这样的点
N
,使得以
A
,
C
,
N
为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,
【压轴题】专题8二次函数与矩形存在性问题(全国通用)(含解析)-2024年中考数学复习