2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题8二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角为直角的四边形是矩形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“
一个角
为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：
同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.
【
例1
】
．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知抛物线
y
＝
ax
2
+
x
+
c
经过
A
（﹣2，0），
B
（0，4）两点，直线
x
＝3与
x
轴交于点
C
．
（1）求
a
，
c
的值；
（2）经过点
O
的直线分别与线段
AB
，直线
x
＝3交于点
D
，
E
，且△
BDO
与△
OCE
的面积相等，求直线
DE
的解析式；
（3）
P
是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段
OC
和直线
x
＝3上是否分别存在点
F
，
G
，使
B
，
F
，
G
，
P
为顶点的四边形是以
BF
为一边的矩形？若存在，求出点
F
的坐标；若不存在，请说明理由．
【
例2
】
（2022•绥化）如图，抛物线
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
交
y
轴于点
A
（0，﹣4），并经过点
C
（6，0），过点
A
作
AB
⊥
y
轴交抛物线于点
B
，抛物线的对称轴为直线
x
＝2，
D
点的坐标为（4，0），连接
AD
，
BC
，
BD
．点
E
从
A
点出发，以每秒
个单位长度的速度沿着射线
AD
运动，设点
E
的运动时间为
m
秒，过点
E
作
EF
⊥
AB
于
F
，以
EF
为对角线作正方形
EGFH
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点
G
随着
E
点运动到达
BC
上时，求此时
m
的值和点
G
的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以
B
，
G
，
C
和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点
G
的坐标，如果不存在，请说明理由．
【
例3
】
（2022•黔东南州）如图，抛物线
y
＝
ax
2
+2
x
+
c
的对称轴是直线
x
＝1，与
x
轴交于点
A
，
B
（3，0），与
y
轴交于点
C
，连接
AC
．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点
D
是第一象限内抛物线上的一个动点，过点
D
作
DM
⊥
x
轴，垂足为点
M
，
DM
交直线
BC
于点
N
，是否存在这样的点
N
，使得以
A
，
C
，
N
为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，
【压轴题】专题8二次函数与矩形存在性问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习
