专题
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蚂蚁爬行模型
蚂蚁爬行模型的概述：
蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。
蚂蚁爬行模型的实质：
两点之间，线段最短。
模型一：
蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A到点B的最短距离：
解题方法
：
在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
分类讨论
示意图
展开图
最短距离
小结
前+上
AB=
最小值取决于
ab，bc，ac
的大小
左+上
AB=
前+右
AB=
模型二：
蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：
解题方法
：
在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形
分类讨论
示意图
展开图
最短距离
爬行半圈
最短距离
=
爬行一圈
最短距离
=
模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点
A
沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B蜂蜜处的最短距离。
示意图
展开图
作法
最短距离
点A
’
为点A关于圆柱上沿的对称点，若点A
’
与点B的垂直距离为h，则问题转化为将军饮马问题求解
A
B=
模型四：蚂蚁爬楼梯问题
问题
示意图
展开图
最短距离
如图，三级台阶的每一级的长，宽，高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，求最短路程
A
B=
=25
模型五：蚂蚁爬圆锥问题
问题
示意图
展开图
最短距离
如图，现有一个圆锥，圆锥的底面直径为4cm，母线长为6cm，一只蚂蚁在点A位置，食物在母线B
C
的中点点D处，蚂蚁沿着圆锥表面由点A向点D处爬行觅食，路线如图所示，求最短距离
先利用扇形弧长公式求圆心角，再根据勾股定理求A
D
长
【培优过关练】
1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为
的正三角形
，母线
的中点
P
处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从
B
处沿圆锥表面去偷袭老鼠， 则小猫经过的最短路程是（ ）
．
A．
B．4
C．
D．6
2．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点
是棱长为
的正方体的一个顶点，点
是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中
两点间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径
，母线
，
为底面直径，
为底面圆周上一点，
，
为
上一点，
，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点
爬到点
，则蚂蚁爬行的最短路程是（
）
A．
B．
C．
D
【几何模型解密】专题20 蚂蚁爬行模型（含解析）-2024年中考数学一轮复习满分突破（全国通用）
