专题11 二次函数
1．
二次函数的定义
形如
y=ax2+bx+c
(
a
,
b
,
c
是常数,
a
≠0)的函数,叫做
x
的二次函数
.
2．
二次函数
y=ax
2
+bx+c
(
a
≠0)的图象和性质
函数
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
,
b
,
c
为常数,
a
≠0)
图象
a
>0
a
<0
性质
①当
a
>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸.
②对称轴是
,顶点坐标是
.
③在对称轴的左侧,即当
x
<
时,
y
随
x
的增大而减小;在对称轴的右侧,即当
x
>
时,y随x的增大而增大,简记为左减右增.
④抛物线有最低点,当
x
=
时,
y
有最小值,
y
最小值
=
.
①当
a
<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.
②对称轴是
,顶点坐标是
.
③在对称轴的左侧,即当
x
<
时,
y
随
x
的增大而增大;在对称轴的右侧,即当
x
>
时,
y
随
x
的增大而减小,简记为左增右减.
④抛物线有最高点,当
x
=
时,y有最大值,
y
最大值
=
.
3．
抛物线
y=a
(
x-h
)
2
+k
与
y=ax
2
的关系
（1）二者的形状相同,位置不同,
y=a
(
x-h
)
2
+k
是由
y=ax
2
通过平移得来的,平移后的顶点坐标为
(h,k)
.
（2）
y=ax
2
的图象
y=a
(
x-h
)
2
的图象
y=a
(
x-h
)
2
+k
的图象
.
4．
二次函数的解析式的确定
要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):
（1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：
y=ax
2
+bx+c
(
a
≠0);
（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：
y=a
(
x-h
)
2
+k
(
a
≠0)
.
5．
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象与
x
轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点
.
当图象与
x
轴有交点时，令
y=
0，解方程
ax
2
+bx+c=
0就可求出与
x
轴交点的横坐标
.
Δ=
b
2
-
4ac
ax
2
+bx+c
=0的根
抛物线
y=ax
2
+bx+c
与
x
轴的交点
Δ>0
两个不相等的实数根
两个交点
Δ=0
两个相等的实数根
一个交点
Δ<0
无实数根
无交点
6．
二次函数与不等式的关系
设抛物线
y=ax
2
+bx+c
(
a>
0)与
x
轴交于(
x
1
,0),(
x
2
,0)两点，其中
x
1
<x
2
,则不等式
ax
2
+bx+c>
0的解集为
x>x
2
或
x<x
1
，不等式
ax
2
+bx+c<
0的解集为
x
1
<x<x
2
.
【考点1】二次函数的图象和性质
【例1】（函数图像）
（2022·湖北武汉）二次函数
的图象如图所示，则一次函数
的图象经过（
）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
【例2】（函数性质1）
（2022·陕西）已知二次函数
的自变量
对应的函
专题11 二次函数【考点精讲】（含解析）-2024年中考数学总复习（全国通用）
