【解题大招】模型35 垂美四边形模型（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB 2 +CD 2 ＝AD 2 +BC 2 【 证明 】∵ AC ⊥ BD ， ∴∠ AOD ＝∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ COD ＝90°， 由勾股定理得： AB 2 + CD 2 ＝ AO 2 + BO 2 + CO 2 + DO 2 ， AD 2 + BC 2 ＝ AO 2 + DO 2 + BO 2 + CO 2 ，∴ AB 2 + CD 2 ＝ AD 2 + BC 2 方法点拨 ① 对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ② 已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 例题精讲 例题精讲 【例1】 ．如图，在四边形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，若 AB ＝5 ， AD ＝5 ， CD ＝12，则 BC ＝ 　 　 ． 变式训练 【变式1-1】 ．如图，在△ ABC 中， AD ， BE 分别是 BC ， AC 边上的中线，且 AD ⊥ BE ，垂足为点 F ，设 BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c ，则下列关系式中成立的是（　　） A． a 2 + b 2 ＝5 c 2 B． a 2 + b 2 ＝4 c 2 C． a 2 + b 2 ＝3 c 2 D． a 2 + b 2 ＝2 c 2 【变式1-2】 ．如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，请回答下列问题： （1）若 AB ∥ CD ，求证：弧 BD ＝弧 AC （2）若 AC ⊥ BD ， CD ＝4，圆 O 的半径为3，求 AB 的长； （3）在（2）的条件下求 PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 的值． 【例2】 ．已知点 P 是矩形 ABCD 内的一点，且 PA ＝2， PB ＝3， PC ＝4，则 PD ＝ 　　 ． 变式训练 【变式2-1】 ．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD ，对角线 AC 、 BD 交于点 O ．若 AD ＝ ， BC ＝3 ，则 AB 2 + CD 2 ＝ 　 　 ． 【变式2-2】 ．如图，在△ ABC 中， AC ＝3， BC ＝4，若 AC ， BC 边上的中线 BE ， AD 垂直相交于 O 点，则 AB ＝ 　　 ． 1．两个矩形，小矩形绕着公共点 C 任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求 BE 2 + DK 2 的值． 2．如图，在四边形 ABCD 中，对角线分别为 AC ， BD ，且 AC ⊥ BD 于点 O ，若 AD ＝2， BC ＝6，则 AB 2 + CD 2 ＝ 　 　 ． 3．如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， M 、 N 是 BC 边上的点， BM ＝ MN ＝ NC ，如果 AM ＝4， AN ＝3，则 MN ＝ 　 　 ． 4．如图，在边长为2的正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是边 AB ， BC 的中点，连接 EC ， FD ，点 G 、 H 分别是 EC ， FD 的中点，连接 GH ，则 GH 的长度为 　　 ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边