【解题大招】专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

例题精讲 例题精讲 【例1】． 如图1，抛物线 y ＝ x 2 + bx + c 交 x 轴于 A ， B 两点，其中点 A 的坐标为（1，0），与 y 轴交于点 C （0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点 D 为 y 轴上一点，如果直线 BD 与直线 BC 的夹角为15°，求线段 CD 的长度； （3）如图2，连接 AC ，点 P 在抛物线上，且满足∠ PAB ＝2∠ ACO ，求点 P 的坐标． 变式训练 【变1-1】 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝ ax 2 + x + c 交 x 轴于点 A 、点 B ，交 y 轴于点 C ．直线 y ＝﹣ x +2经过于点 C 、点 B ， （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为第一象限抛物线上一动点，过点 D 作 y 轴的平行线交线段 BC 于点 E ，交 x 轴于点 Q ，当 DE ＝5 EQ 时，求点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，点 M 为第二象限抛物线上一动点，连接 DM ， DM 交线段 OC 于点 H ，点 F 在线段 OB 上，连接 HF 、 DF 、 DC 、 DB ，当 HF ＝ ，∠ CDB ＝2∠ MDF 时，求点 M 的坐标． 【例2】． 如图，直线 y ＝ x + c 与 x 轴交于点 B （4，0），与 y 轴交于点 C ，抛物线 y ＝ x 2 + bx + c 经过点 B ， C ，与 x 轴的另一个交点为点 A ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点，求四边形 ACPB 的面积最大时点 P 的坐标； （3）若点 M 是抛物线上一点，请直接写出使∠ MBC ＝ ∠ ABC 的点 M 的坐标． 变式训练 【变2-1】． 如图，抛物线 y ＝ ax 2 + bx +4交 x 轴于 A （﹣1，0）、 B （3，0）两点，交 y 轴于点 C ，连接 BC ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一点，设 P 点的横坐标为 m ． ① 当点 P 在第一象限时，过点 P 作 PD ⊥ x 轴，交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥ y 轴，垂足为 E ，连接 PE ，当△ PDE 和△ BOC 相似时，求点 P 的坐标； ② 请直接写出使∠ PBA ＝ ∠ ABC 的点 P 的坐标． 【例3】． 已知如图，抛物线 y ＝ ax 2 + bx ﹣4（ a ≠0）交 x 轴于 A 、 B 两点（ A 点在 B 点的左侧），交 y 轴于点 C ．已知 OA ＝ OC ＝2 OB ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线 y ＝2 x + m ，若直线与抛物线有且只有一个交点 E ，求△ ACE 的面积； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P ，使∠ PAB ＝∠ EAC ，若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 变式训练 【变3-1】． 如图，已知：抛物线 y ＝ a （ x +1）（ x ﹣3）与 x 轴相交于 A 、 B 两点，与 y 轴的交于点 C （0，﹣3）． （1