【解题大招】专题58 二次函数中的面积问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

例题精讲 例题精讲 求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法． 【问题描述】 在平面直角坐标系中，已知 、 、 ，求△ ABC 的面积． 【分析】 显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样： 构造矩形 ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ ABC 面积． 这是在“补”，同样可以采用“割”： 此处 AE + AF 即为 A 、 B 两点之间的水平距离． 由题意得： AE + BF =6． 下面求 CD ： 根据 A 、 B 两点坐标求得直线 AB 解析式为： 由点 C 坐标（4,7）可得 D 点横坐标为4， 将4代入直线 AB 解析式得 D 点纵坐标为2， 故 D 点坐标为（4,2）， CD =5, ． 【方法总结】 作以下定义： A 、 B 两点之间的水平距离称为“水平宽”； 过点 C 作 x 轴的垂线与 AB 交点为 D ，线段 CD 即为 AB 边的“铅垂高”． 如图可得： 【解题步骤】 （1）求 A 、 B 两点水平距离，即水平宽； （2）过点 C 作 x 轴垂线与 AB 交于点 D ，可得点 D 横坐标同点 C ； （3）求直线 AB 解析式并代入点 D 横坐标，得点 D 纵坐标； （4）根据 C 、 D 坐标求得铅垂高； （5）利用公式求得三角形面积． 例题精讲 例题精讲 【例1】 ．如图，抛物线 y ＝﹣ x 2 ﹣2 x +3与 x 轴交于 A （1，0）， B （﹣3，0）两点，与 y 轴交于点 C ．点 P 为抛物线第二象限上一动点，连接 PB 、 PC 、 BC ，求△ PBC 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标． 变式训练 【变1-1】 ．如图，已知抛物线 y ＝ ax 2 + bx +3与 x 轴交于 A 、 B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C ，其中 A 点的坐标是（1，0）， C 点坐标是（4，3）． （1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （2）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求△ ACE 的最大面积及 E 点的坐标． 【变1-2】 ．如图，直线 y ＝﹣ x +2交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 C ，抛物线 y ＝﹣ + bx + c 经过点 A ，点 C ，且交 x 轴于另一点 B ． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 M ，求四边形 ABCM 面积的最大值及此时点 M 的坐标． 【例2】． 如图，抛物线 y ＝ x 2 + bx + c 与 x 轴交于 A （﹣1，0）， B （3，0）两点，过点 A 的直线 l 交抛物线于点 C （2， m ），点 P 是线段 AC 上一个动点，过点 P 作 x