【压轴题】专题1二次函数与等腰三角形问题（全国通用）（含解析）-2024年中考数学复习

2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用） 专题1 二次函数与等腰三角形问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。 在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类. 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果 △ ABC 是等腰三角形，那么存在 ① AB ＝ AC ， ② BA ＝ BC ， ③ CA ＝ CB 三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快 ． 几何法一般分三步：分类、画图、计算 ．哪些题目适合用几何法呢？ 如果 △ ABC 的 ∠ A （的余弦值）是确定的，夹 ∠ A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法． ① 如图1，如果 AB ＝ AC ，直接列方程； ② 如图2，如果 BA ＝ BC ，那么 ； ③ 如图3，如果 CA ＝ CB ，那么 ． 图1 图2 图3 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 ． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． ， 然后根据分类：AB=AC，BA=BC，CA=CB列方程进行计算. 【 例1 】 （2022•百色）已知抛物线经过 A （﹣1，0）、 B （0，3）、 C （3，0）三点， O 为坐标原点，抛物线交正方形 OBDC 的边 BD 于点 E ，点 M 为射线 BD 上一动点，连接 OM ，交 BC 于点 F ． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：∠ BOF ＝∠ BDF ； （3）是否存在点 M ，使△ MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求 ME 的长． 【 例2 】 （2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线 L 1 ： y ＝ ax 2 +2 x + b 与 x 轴交于两点 A ， B （3，0），与 y 轴交于点 C （0，3）． （1）求抛物线 L 1 的函数解析式，并直接写出顶点 D 的坐标； （2）如图，连接 BD ，若点 E 在线段 BD 上运动（不与 B