模型介绍
模型介绍
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
例题精讲
例题精讲
【例1】
．
如图，抛物线
y
＝﹣
x
2
+
x
+2交
x
轴于点
A
，
B
，交
y
轴于点
C
，点
M
是第一象限内抛物线上一点，过点
M
作
MN
⊥
x
轴于点
N
．若△
MON
与△
BOC
相似，求点
M
的横坐标．
变式训练
【变1-1】
．如图，在平面直角坐标系内，已知直线
y
＝
x
+4与
x
轴、
y
轴分别相交于点
A
和点
C
，抛物线
y
＝
x
2
+
kx
+
k
﹣1图象过点
A
和点
C
，抛物线与
x
轴的另一交点是
B
，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及
B
点坐标；
（2）若在
y
轴负半轴上存在点
D
，能使得以
A
、
C
、
D
为顶点的三角形与△
ABC
相似，请求出点
D
的坐标．
【例2】
．如图，抛物线
y
＝
x
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于
A
（1，0），
B
两点，与
y
轴交于点
C
（0，3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）过点
B
作
x
轴的垂线，在该垂线上取一点
P
，使得△
PBC
与△
ABC
相似，请求出点
P
的坐标．
变式训练
【变2-1】
．如图，抛物线
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于点
A
（﹣1，0），点
B
（3，0），与
y
轴交于点
C
，且过点
D
（2，﹣3）．点
P
、
Q
是抛物线
y
＝
ax
2
+
bx
+
c
上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点
P
在直线
OD
下方时，求△
POD
面积的最大值．
（3）直线
OQ
与线段
BC
相交于点
E
，当△
【解题大招】专题61 二次函数背景下的相似三角形问题（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）
