【解题大招】模型25 圆综合之中点弧模型（含解析）-2024年中考数学复习（全国通用）

模型介绍 模型介绍 【以下 五个条件 知一推四】 点 C 是 的中点 AC ＝ BC OC ⊥ AB PC 平分∠ APB ( 即 ) 【以下 五个条件 知一推四】 点 C 是 的中点 AC ＝ BC OC ⊥ AB PC 平分∠ APB ( 即 ) 【模型解读】 类型一 中点弧与相似 点 P 是优弧 AB 上一动点，则 ∠ 1 ＝∠ 2 ，∠ PCB 为公共角，子母型相似 【补充】⑥ PE • PC ＝ PA • PB 类型二 中点弧与旋转 【模型解读】 点 P 是优弧 AB 上一动点，且 点 C 是 的中点 邻边相等 +对角互补 旋转相似 模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系. 由于对角互补，即 ，显然 共线，且 ，通过导角不难得出相似. 类型三 中点弧+内心可得等腰 【模型讲解】外接圆 + 内心 ⇒ 得等腰 如图，圆 O 是△ ABC 外接圆圆心， I 是三角形 ABC 的内心，延长 A I 交圆 O 于 D ，证 DI ＝ DC ＝ BD 【简证】∠ 1 ＝∠ 4 ＋∠ 5 , ∠ 4 ＝∠ 3 ，∠ 2 ＝∠ 5 ∴∠ 1 ＝∠ 2 ＋∠ 3 类型四 弧中点与垂径定理 【模型解读】 知 1推5 AD 平分∠ CAB D 是 的中点 DO ⊥ CB 知 1推5 AD 平分∠ CAB D 是 的中点 DO ⊥ CB 例题精讲 例题精讲 考点一： 中点弧与相似三角形的综合 【例1】 ．如图， A 、 B 、 C 、 D 是 ⊙ O 上的四个点， AB ＝ AC ， AD 交 BC 于点 E ， AE ＝3， ED ＝4，则 AB 的长为_______ 变式训练 【变式1-1】． 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O ，对角线 AC 、 BD 交于点 P ，且 AB ＝ AD ，若 AC ＝7， AB ＝3，则 BC • CD ＝ 　　 ． 【变式1-2】． 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O ， AB 为直径， AD ＝ CD ，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，连接 AC 交 DE 于点 F ．若sin∠ CAB ＝ ， DF ＝5，则 BC 的长为_______ 考点二 中点弧与旋转的综合 【例2】. 在 的内接四边形 中， ， ， ，点 为弧 的中点，则 的长是 　　 ． 变式训练 【变式2-1】． 如图，已知 是 的弦，点 是弧 的中点， 是弦 上一动点，且不与 、 重合， 的延长线交于 点 ，连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ， ． （ 1 ）求证： 是 的切线； （ 2 ）若 ， ，求 的长； （ 3 ）当点 在弦 上运动时， 的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值． 考点三：中点弧+内心可得等腰三角形 【例3】． 如图，已知 ⊙ O 是△ ABC 的外接圆，点 I 是△ ABC 的内心，延长 AI 交 BC 于点 E ，交 ⊙ O 于点 D ，连接 BD 、 DC 、 BI ．求证： DB ＝ DC ＝ DI ． 【变式3-1】． 如图，点 I 是△ ABC 的内心， BI 的延长线与△ A